Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf

Условимся, прежде всего, относительно выбора числа

т о ­

чек измерения. Как мы знаем, целью

регрессионного

анализа

яв­

ляется

выбор

наилучшего

описания эмпирического

мате­

риала,

содержащего

измерения

в

П

точках.

В процессе

этого

анализа подбирается, в частности, максимальный номер

^ т

о х

функций

<2Гк

, используемых в

описании

(для

полиномного

представления

максимальная

степень

X

равнялась

т

-

У ) .

max

При

этом

предельное

значение

П\

&

П.

max

С другой стороны, если заранее твердо установим набор

функций

2Cjx)

с

известным

/72m

(например,

утверждаетоя,

что

в

разложении

функции

Y-

Y(x)

в

ряд

по

X

максималь­

ная

степень

X

равна

т

-

і

) ,

то

минимальное

число

точек

наблюдения

равно П.

. *

т

. При

этом

можно

показать,

/7Ї СЛ.

что если точки расставлены так, чтобы

обеспечить минимум

дис­

персии, то введение еще одной точки наблюдения может только

ухудшить

точность

оценки

параметров

кривой (при том

же

вре­

мени

наблюдения).

Для иллюстрации последнего утверждения рассмотрим при­

мер с линейной регрессией. На рис.

16л

указаны

два

резуль­

тата

наблюдений

и

,

полученные

для

проведения

линии

Средняя квадратичная

ошибка

в

оценке

параметра

р

рав­

на 6?

=

і/б*

*

6 Z

/(Х~

X )

(§

21).

Приблизительно

это

^

У*.

У*'

1

значение

о „р

совпадает

с

разбросом

угла

наклона

в

пучке

трех точках, включая еще одну промежуточную

X

,

лишь

снижает точность измерения отдельных

у.

,

расширяет

ко­

ридор ошибок и в итоге увеличивает

(рис. І6&

) .

Таким образом,

полагаем, что

число

точек

измерения

а = пг . Тогда

в качестве функций °£КМ

можно избрать

ин­

терполяционные

полиномы Ньютона:

z J*) - -

^

П ^ 4 4

tjx)

(27.5)

Вое функции

^ к 0 0

являются полиномами

степени

П.-it

различаясь

между

собой

коэффициентом

при

X

. Их

ортогональность

следует

из очевидного

равенства

t„(х.) =

- 5

,

. Отсюда вытекает

также, что

/V =)

UfX„(X..) = 1

КJ

/f

С^.

і

К

і

Возвращаясь теперь

к соотношению (27.2),'"получаем

п.

п.

мощью которых

мокно было бы составить

представление о пове­

дении функции

трудности измерения k

=

h(x) •

Предложенный метод минимизации

&(У(Х))

связан о

довольно кропотливыми расчетами. Однако

вместо

аналитичес­

Предположим,

что

0 ^ X < X f < X i < * ' - < : :

У ,

под­

разумевая,

что интересующая нас область

экстраполяции

распо­

ложена вблизи

нуля. Снимем

модули

и одновременно изме­

ним знаки слагаемых в (27.6") таким образом,

чтобы при Х*Х^

функция Є(У)

не изменилась. Например,

при

П « 3

мы полу­

чаем функцию

(27.9)

- ( x - y j r x - x , )

і

,

(x-xt)(x-x3)

, f

]

l

которая совпадает о б (У)

при

X * X f

. функция

б" ( ^ я в ­

ляется параболой

(в общем случае

( Л .

- І)-ой степеня),

проходящей

через

точки

(\,^//Г),

'K/ffi)•

В облаоти

X

О

величина

б*(0)

будет определять

ту ошибку,

которую мы хотим

сделать минимальной.

Построим теперь

графики функций

которыми функция

б*(х)

имеет

общие

точки~ указанные

выше. При различном выборе точек наблюдения величина

&(0)

окажется минимальной,

еоли

X f , X < } -

. . , X f t расположить так,

чтобы порабола

б*(х)

лишь касалась кривых

в этих точках,

т . е .

б*(0)

—

*

ПИП,

если

| * * |

«

±

t 0

.

(27.10)

Действительно, соотношения(27.10), как показывают

вик­

ладки,

эквивалентны

обычному

условию

минимума (27.8).

гіа рис.

17

расположение

точек

X f

,

X

,

. . .

не

от­

вечает

условию

минимума

б"(0)

; последний

достигается

для течек

X

, . . .

. Н а

рис.

18

приведены

примеры

нахождения

наивыгоднейшего

расположения точек дли постоянной,

линейной и

параболической

регрессии

в случае,

когда

функ­

ция трудности

измерения обращается

в бесконечность

в

двух

точках

X =0

и

X =1.

Если

экстраполяция

производится

в

интервал

X < X

,

дит по

той

же схеме: парабола ( (

П -

I ) - ов степени)

впи­

сывается

в

коридор

±

\\.[X)J/Т

таким образом,

чтобы

ближайшие

к

X

точки касания

лежали

на

затем

поочередно на

т fl(X)/l/T.

Поскольку

1,'ункция

h(x)

известна лишь приближенно, значения X , ,

X t .

. п е р в о н а ч а л ь ­

но можно

определить,

вписывая

параболы с

помощью

шаблонов

или проото от руки, а затем, накопив дополнительную инфор­

мации,

положение точек наблюдении

можно

уточнить.

§

28.

Последовательное

планирование

Сбор предварительной информации,поиск оптимального пла­

на проведения эксперимента,

корректирование

действий,

связан-