Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf

г О т н о си т е л ь н ы е п о г р е ш н о ст и б у д у т :

*1 276,9—276,8 100% <0,05% ;

276,9

1299,9—1299,1 •100% <0,06% ;

1299,1

Уравнение динамики получает вид

yt = 13,25 + 0,367* — 0,00416*2 .

Пример 4. Выравнивание по параболе 3-го порядка. Имеются данные о миграции населения пункта N. с 1948

по 1967 г.

86

Уравнение искомой параболы имеет вид

U t= ao + + ait2+ аз*3-

Параметр Со покажет начальную величину миграции, а па­ раметр — скорость ее изменения.

По формуле (3, 12) и приложению 5 имеем:

а0= 0 ,113-7159—0,0004795 ■925271=370,851;

+=0,00239 ■24137—0,00000845 •5644065=9,99508;

а2= —0,0004735 •7154+0,00000356 ■925271 = -0,09583;

а,= —0,00000844838 -24137+-0,00000003541 -5644065= = -0,00406.

Для определения погрешностей подставим в левые части си­ стемы нормальных уравнений (3, 11) значения найденных параметров и коэффициентов. Получим соответственно 7162, 24121, 925725, 5627977. Относительные погрешности будут:

о, < 0,04%; о2 < 0,04%; 53 < 0,05 %; 34 <0,06% ;

Уравнение параболы примет вид

yt = 370,851 +- 9,995* — 0,096*= — 0,0041 *3.

§ 4. Упрощенный способ вычисления ординат выровненного ряда

Допустим, что формула аппроксимирующего полинома нами уже найдена и теперь стоит задача нахождения значе­ ний выровненных ординат. Укажем некоторые упрощения, получающиеся в случае равноотстоящих значений аргумента.

Поясним эту задачу на примере параболы второго по­ рядка

где х может принимать значения 0, ± 1, ± 4, ..., ± i,...

Выведем рекуррентное соотношение между у; и уг_ i :

87

Аналогично для вычисления предыдущей ординаты через по­ следующую получим формулу

Выведенные формулы (3, 18) и (3, 19) позволяют, опи­ раясь на очевидное значение yo=«o. последовательно вычис­

тогда

4~ д2 == 8;

-}- 3g2 — 17;

4” 5g2 — 25.

88

Значения выровненных ординат будут:

Уо —- а 0 — ■1,5,

У1 = у 0+ Ъ— $,5\

Ун == У -i “Н 17 — 26,5;

(— Таблицы составлены с точностью 6—8 знаков. Округление всюду произведено с недостатком. Запись числа в нормальной форме с одинаковым количеством знаков в мантиссе обеспечивает для всех чисел одинаковую относи­ тельную погрешность.

Точность в 1 %, в большинстве экономических исследова­ ний считается достаточной (в силу невозможности точно учесть все действующие факторы, которые носят случайный характер).

Относительная погрешность приведенных в работе расче­ тов не превысила 0,07%, что является вполне приемлемым, особенно если учесть, что аппроксимируемые величины точно известны не всегда.

Кроме того, нужно учитывать, что точность аппроксима­ ции не должна превышать точности исходных данных.

Вкаждом конкретном случае вычислитель может непо­ средственно определить точность полученных результатов. Определение точности вычислений в общем случае представ­ ляется нам весьма трудоемким, более трудным, чем само вы­ числение.

§6. Преобразование координат

Вначале данной главы (§ 1) были указаны формулы для переноса начала координат в середину рассматриваемого периода.

89

Эти формулы имели вид:

для нечетного случая

х' = х — к — 1

для четного случая

х' = 2(х~ к ) —1.

Вэкономических исследованиях, чтобы определить фак­ тические выровненные значения ординат, обычно требуется получить уравнение связи относительно исходного начала координат. Для этого вышеприведенные формулы оказыва­ ются весьма удобными.

Покажем технику преобразования координат на приме­ рах.

Пример 1. Имеются данные о зависимости урожайности от количества внесенных минеральных удобрений.

Корреляционное уравнение связи будем вычислять в вд де параболы 2-го порядка.

Здесь

т = 3, л=10, k = 5 (четный случай).

Составляем таблицу 18.

90