Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.07.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
1939 |
129,4 |
— 9 |
— 1164,6 |
131,9 |
|
1940 |
127,7 |
— 7 |
— 893,9 |
131,6 |
|
1941 |
.^8,0 |
— 5 |
— 640,0 |
131,3 |
|
1942 |
131,6 |
— 3 |
- |
394,8 |
131,0 |
1943 |
131,4 |
— 1 |
— |
131,4 |
130,7 |
1944 |
132,0 |
1 |
|
132,0 |
130,3 |
1945 |
130,1 |
3 |
|
390,3 |
130,0 |
1946 |
129,4 |
5 |
|
647,0 |
129,7 |
1947 |
129,2 |
7 |
|
904,4 |
129,4 |
1948 |
126,7 |
9 |
|
1131,3 |
129,1 |
1949 |
128,1 |
11 |
|
1409,1 |
128,7 |
1950 |
128,1 |
13 |
|
1665,3 |
128,4 |
1951 |
135,5 |
15 |
|
2022,5 |
128,1 |
1952 |
127,7 |
17 |
|
2170,8 |
127,8 |
1953 |
126,4 |
19 |
2401,6 |
127,5 |
|
1954 |
129,0 |
21 |
2709,0 |
127,1 |
|
1955 |
126,5 |
23 |
2909,5 |
126,8 |
|
1956 |
129,0 |
25 |
3225,0 |
126,5 |
|
1957 |
129,1 |
27 |
3485,7 |
126,2 |
|
1958 |
129,4 |
29 |
3752,6 |
125,9 |
|
1959 |
130,5 |
31 |
4045,5 |
125,5 |
|
1960 |
130,0 |
33 |
4290,0 |
125,2 |
|
1961 |
130,0 |
35 |
4550,0 |
124,9 |
|
1962 |
127,7 |
37 |
4724,9 |
124,6 |
|
1963 |
129,2 |
39 |
5038,8 |
124,3 |
|
1964 |
126,2 |
41 |
5174,2 |
123,9 |
|
1965 |
127,2 |
43 |
5469,6 |
123,6 |
|
Итого |
=5744,3 |
S£=0 |
6j= Et/£=4520,3 |
Si//=5742,0 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Здесь |
|
|
|
|
|
т = 2, |
/г=44, |
к = 22. |
|
|
а0= Тп 60 = 0,022727-5744,3 = 130,52773;
а1=т12 =0,000035236 •(—4520,3)= —0,1593.
Уравнение динамики получит вид
yt = 130,5—0,16 £
(см. рис. 15). (Значения ??/ взяты из приложения 5).
Для определения погрешности подставим найденные зна чения параметров в левые части системы нормальных урав нений
44 а0 = |
5744,3 |
\ |
44-130,53 = 5743,32 |
28380 а, = |
— 4520,3 |
j |
28380-0,1593 — 4520,9 |
6—984 |
81 |
О т н о си т е л ь н ы е п о г р е ш н о ст и не п р е в ы ш а ю т
5744,30-5743,22
100% =0,018% ;
5744,30
4520,90—4520,30
100 % = 0,012%.
4520,30'
Рис. 15. Динамика резвости рысаков, победителей розыгрыша
«Большого Всесоюзного приза»
Пример 2. В работе [13] на стр. 54 рассматривается сле дующий пример интерполяции в полиномах Чебышева. Ха рактеристика эволюции урожаев озимой ржи Подольской гу бернии определяется в форме параболической кривой вто рого порядка, проинтерполированной через погодные значе ния урожаев в «самах» с 1883 г. по 1914 г .1 (см. табл. 15).
|
|
|
|
Таблица 14 |
Урожаи по |
|
|
|
|
данным |
|
|
|
|
Ц.С.К. (за |
t |
yt |
yt2 |
yt |
последова |
||||
тельный ряд |
|
|
|
|
лет — с 1883 |
|
|
|
|
по 1914 г.) |
|
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
||
3,9 |
—31 |
—120,9 |
3747.9 |
: |
5,8 |
—29 |
—168,2 |
4877,8 |
|
5,9 |
—27 |
—159,3 |
4301,1 |
|
3,6 |
—25 |
— 90,0 |
2250,0 |
|
_____L& |
|
. , |
|
|
1 Пример заимствован у Н. С. Четверикова..
82
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
7,1 |
—23 |
—163,3 |
3755,9 |
|
|
7,2 |
—21 |
—151,2 |
3175,2 |
|
|
2,8 |
—19 |
— 53,2 |
1010,8 |
|
|
6,0 |
—17 |
—102,0 |
1734,0 |
|
|
4,4 |
—15 |
— 66,0 |
990,0 |
|
|
4,3 |
—13 |
— 55,9 |
726,7 |
|
|
6,7 |
— И |
— 73,7 |
840,7 |
|
|
7,4 |
— 9 |
— 66,6 |
599,4 |
|
|
6,0 |
— 7 |
— 42,0 |
294,0 |
|
|
7,2 |
— 5 |
— 36,0 |
180,0 |
|
|
4,3 |
— 3 |
— |
12,9 |
38,7 |
|
7,1 |
— 1 |
- |
7,1 |
7,1 |
|
7,2 |
1 |
|
7,2 |
7,2 |
|
4,5 |
3 |
|
13,5 |
40.5 |
|
8,1 |
5 |
|
40,5 |
202,5 |
|
9,0 |
7 |
|
63,0 |
441,0 |
|
7,3 |
9 |
|
65,7 |
591,3 |
|
6,8 |
11 |
|
74,8 |
822,8 |
|
8,6 |
13 |
|
111,8 |
1453,4 |
|
8,1 |
15 |
|
121,5 |
1822,5 |
|
2,9 |
17 |
|
49,3 |
838,1 |
|
5,6 |
19 |
|
106,4 |
2021,6 |
|
7,7 |
21 |
|
161,7 |
3395,7 |
|
8,3 |
23 |
|
190,9 |
4390,7 |
|
6,4 |
25 |
|
160,0 |
4000,0 |
|
7,7 |
27 |
|
297,9 |
5613,3 |
|
7,8 |
29 |
|
226,2 |
6559,8 |
|
7,3 |
31 |
|
226,3 |
7015,3 |
|
&о =203,0 |
Si =0 |
6^ =458,4 |
b2=67715 |
|
|
|
|
|
|
I |
|
Решение этого примера в 'работе [13] занимает две страницы. Решение модифицированным методом занимает три строчки.
Здесь т = 3, я=32, &=!l6
а0=203;0-0,07042738^—67715-0,00011489=14,29675814—
|
— 7,77977635 = 6,51698 |
j |
|
|
at = |
458,4-0,0000916422 = 0,042009 |
|
• . |
|
аг = |
—203,0-0,0001148897 + |
67715-0,00000033692=: |
||
= |
- 0,0233226091 + 0,0228145378 = — 0,000508 |
* |
||
|
yt.= 6,517 + 0,042/ |
- 0,0005/2 , |
( |
: |
т. е.' имеются незначительные расхождения в коэффициентах при / и при Z2 (см. рис. 16).
6* |
83 |
Пример 3. Выравнивание по параболе второго порядка. Исследование динамики урожайности озимой пшеницы по Воронежской области (по данным отдела экономико-стати стического анализа ВЦ ЦСУ РСФСР).
|
|
|
|
|
Таблица 15 |
|
Урожай |
Условный |
|
|
|
|
ность, |
|
|
|
|
Годы |
|
номер года |
ty |
t'y |
|
ц/га |
|
||||
|
У |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1945 |
4,0 |
|
—21 |
— 84 |
1764,0 |
1946 |
2,0 |
|
—19 |
— 38 |
722,0 |
1947 |
8,9 |
|
—17 |
—151,3 |
2562,1 |
1948 |
9,8 |
|
—15 |
—147 |
2205,0 |
1949 |
6,4 |
|
—13 |
— 83,2 |
1081,6 |
1950 |
5,9 |
|
—11 |
— 64,9 |
713,9 |
1951 |
12,8 |
|
— 9 |
— 115,2 |
1036,8 |
1952 |
10,3 |
|
— 7 |
— 72,1 |
504,7 |
1953 |
8,7 |
|
— 5 |
— 43,5 |
217,5 |
1954 |
10,0 |
|
— 3 |
— 30 |
90 |
1955 |
15,0 |
|
— 1 |
— 15 |
15 |
1956 |
7,7 |
|
1 |
7,7 |
7,7 |
1957 |
16,9 |
|
3 |
50,7 |
152,1 |
1958 |
15,5 |
|
5 |
77,5 |
387,5 |
1959 |
17,0 |
' |
7 |
1,19 |
833,0 |
I960 |
19,0 |
9 |
171 |
1539,0 |
|
1961 |
20,2 |
|
и |
222,2 |
2444,2 |
84
|
Урожай |
Условный |
|
|
|||
|
|
ность, |
|
t2y |
|||
Годы |
|
номер года |
ty |
||||
|
ц(га |
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1962 |
|
20,2 |
|
13 |
|
262,6 |
3413,8 |
1963 |
|
9,2 |
|
15 |
|
138 |
1978,0 |
1964 |
|
19,3 |
|
17 |
|
328,1 |
5577,7 |
1965 |
|
16,8 |
|
19 |
|
319,2 |
6064,8 |
1966 |
|
21,3 |
|
21 |
|
447,3 |
9393,3 |
|
|
=276,9 |
|
s ,= o |
|
= 1299,1 |
b2 = 42703,7 |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т ~ 3, п — 22 к = — — = 1 1 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Уравнение искомой параболы имеет вид |
|
||||||
|
|
|
yt= |
aQ+ alt + aaf, |
|
||
где yt — расчетные значения |
урожайности, |
t — член ряда, |
|||||
составляющий |
арифметическую |
прогрессию |
с начальным |
||||
членом а\=—21 и разностью прогрессии й= 2. |
|
||||||
По формулам (3, 10) |
и приложению 5 получим: |
||||||
до = |
0,10263 •276,9 — 0,00035517 •42703,7 = |
13,25; |
|||||
at = 0,00028233-1299,1 =.0,367; |
|
||||||
as = |
— 0,00035517-276,9 + |
0,0000022057 = |
— 0,00416. |
||||
Определим относительные погрешности. Система нор |
|||||||
мальных уравнений имеет вид |
|
|
|
||||
|
|
22а0 -J- 3542а2 |
=276,9 |
|
|||
|
|
|
|
3542^ = |
1299,1 |
|
|
|
3542а0 -j- 1023б38а2 = |
42703,7 |
|
||||
Подставим |
в нее значения |
найденных параметров: |
|||||
|
|
22 •13,25 — 3542 •0,00416 = 276,77; |
|||||
3542-0,367 = 1299,9;
3542-13,25=1023638-0,00416=42673,2 .
85