Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf

а0= 0 ,2289062 •180—0,003906250 -5708= 18,906; +=0,003030303 •234=0,709;

as= —0,003906250-180+0,0001183712-5708=—0,027;

jTt= 18,9+0,71Н— 0.027*2 .

Произведем перенос осей координат по формуле

х' — t — 2{х — к) — 1 = 2(х — 5) — 1 = 2х — 11;

Здесь

Л—-I

п — 9, к = — — = 4 (нечетный случай).

Выровняем данный динамический ряд по параболе 2-го по­ рядка (т ~ 3):

91

Произведем преобразование координат по формуле

x ' = t = x — к — 1 = х — 5;

ух-= 31,2+12,5(jc—5)4-1 ,6(jc—5)e^=l .6jc®—3,5jc+8,7 .

§ 7. Нахождение параметров экспоненциальной формы связи

Экспоненциальному закону подчиняются такие важные для экономических исследований процессы, как рост народо­ населения, рост суммы 'накоплений по сделанному в сберега­ тельную кассу вкладу, рост числа научных работников и на­ учных публикаций, рост количества древесины на лесных массивах и т. д., т. е. такие процессы, в которых скорость или интенсивность изменения какой-либо величины пропорцио­ нальна самой этой величине.

Экономисту-исследователю часто приходится в своей ра­ боте анализировать реальные процессы, которые в опреде­ ленный период времени обнаруживают тенденцию к быстрому нарастанию и развиваются по закону, близкому к экспонен­ циальному. Это может быть поток телеграмм в предпразд­ ничные дни, опрос на железнодорожные и авиабилеты в пе­ риод летних отпусков, увеличение числа пассажиров на го­ родском транспорте в часы «пик», спрос на товары, входя­ щие в моду и т. д.

Для изучения подобных процессов экспоненциальный закон может оказаться наиболее подходящим. Идет ли речь о национальном доходе, о выплавке стали или о приплоде у кроликов, экономист должен уметь сделать научно обосно­ ванные выводы о тенденции развития этих явлений.

Получив статистические или экспериментальные данные и нанеся их на график, лучше всего на полулогарифмической бумаге, экономист, при определенном навыке, может устано­

к математической обработке имеющихся данных по предла­ гаемому ниже способу.

Рассмотрим суперпозицию показательной и полиномиаль­

параметры, которые определим ниже.

92

После логарифмирования функции (3, 20) получим

Параметры функции (3, 21) можно определить путем решения системы нормальных уравнений

5 0Х0 -Ь -j-. . . -f- Sm—i Xm_i — bQ

мощью функции (3, 20) предлагается алгоритм, с помощью

ЭВМ М-22 были составлены специальные таблицы коэффи­ циентов, которые дают возможность сразу определять пара­ метры уравнений динамики по выведенным заранее форму­ лам (приложения 4 и 5). При решении системы (3, 22) было рассмотрено два случая: нечетный и четный.

Формулы для определения параметров экспоненциальной формы связи имеют такой же вид, как формулы, выведенные

1 В данном случае таблицы десятичных логарифмов удобнее, так как

при работе с таблицами натуральных логарифмов нужно вычислять до­ полнительные поправки.

93

Теперь решим вопрос о том, как в каждом конкретном случае выбрать вид суперпозиции (3, 20), т. е. определить число т (количество уравнений). Ясно, что чем выше поря­ док аппроксимирующей суперпозиции, тем более сложную задачу придется решать для отыскания параметров аппрок­

симирующей формулы л0, . ,л,„_!, но и тем точнее бу­ дет произведено выравнивание по методу наименьших квад­

#=10*» =const — прямая, параллельная оси t).

Рассмотрим возможность применения аппроксимирующей формулы (3, 20) и поясним наши соображения на примерах.

§ 8. Применение экспоненциальной формы связи при анализе конкретных экономических процессов

Пример 1. В таблице 21 приведены данные о производ­ стве изделия А по годам.

У

5 t -4 -3 - i -i о V 2 3 к

Рис. 17.

1 Здесь сумма квадратов отклонений для исходных переменных! не

минимизируется, что в значительной мере ухудшает смысл аппроксимации.

94

Здесь

т= 2, п = 9. & = 4

Решение. Нанесем экспериментальные точки (у) на гра­ фик, используя полулогарифмическую бумагу (см. рис. 17 и

У

18). Очевидно, что для аппроксимаци подходит суперпози­ ция первого и второго порядка (прямая на рис. 17 и квад­ ратичная парабола на рис. 18). В таблице 20 приведены дан­ ные для обоих случаев.

95

По формулам (§ 2) имеем

Хо = 0,111111-12,85606= 1,42845 X, = 0,016667-10,45826 = 0,17429

Аналитическое уравнение экспоненциальной суперпозиции по­ лучит вид

y ( i ) = Ю1-434-0'17* или lg [t/(f)] = 1,43 + 0,Ш

По формулам (§ 2) имеем:

Х0 = 0,25541 •12,85606 — 0,021645 -81,17612= 1,5265;

Xt = 0,01667 •10,45826 = 0,17430;

Х ,=—0,02164-12,85606+0,0032467-81,17612=—0,01472.

Уравнение суперпозиции будет:

1Q 1,526+ 0,174/-0,0147/’

или

lg [y(t)] = 1,526 + 0,174* — 0.0147<*

Пример 2. Для определения размера, динамики и струк­ туры национального дохода и анализа факторов его роста произведем выравнивание данных о произведенном нацио­ нальном доходе СССР за период 1960—'1969 >гг-

96

Здесь т= 2 (количество уравнений), п=10 (количество экс­

периментальных точек), k = — =

Если нанести экспериментальные точки (у) на график, используя полулогарифмическую бумагу (в натуральных ло­ гарифмах), то эти точки будут расположены вблизи прямой линии.

Это значит, что для аппроксимации нужно избрать супер­ позицию первого порядка

Если бы на графике точки оказались расположенными вблизи квадратичной параболы, то для аппроксимации сле­ довало бы избрать суперпозицию второго порядка

По формулам (§ 2) имеем:

>ч, = 0,1 52,5220 = 5,2522;

л,=0,00(30) •10,8458=0/32863.

Подставим значения найденных параметров в уравнение

у = ех°+x>f и получим эмпирическое уравнение экспонен­ ты, выравнивающей уровни национального дохода.