Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.07.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
при которых функция (2, 8) дает наилучшее, в некотором смысле экстремальное приближение функции (2, 6). Будем искать функциональную связь на множестве многочленов сте пени т — 1. Тогда теоретическая функциональная связь бу дет иметь вид
у = а0 + агх + . . . + am—i л""-1. |
(2, 10) |
Наиболее распространенным и теоретически обоснован ным методом аппроксимаци является метод наименьших квадратов. Согласно этому методу значения параметров (2.9), при которых достигает минимума выражение
П
У ] [ У< (xt) — (f х „ «О» а , |
, ат-\ |
) ]=, |
|
i=l |
|
|
|
находятся из системы нормальных уравнений (1, 4), |
|||
|
п |
|
|
где = х[ + х 21+ .. .-\-xl„ |
xj (i = |
0, 1, .. |
,2т—2) (2,11) |
|
j =i |
|
|
|
П |
|
|
и Ь1= у1х\ + у2х [-\ -.. .+ упХп = ^p1iji x j(i=Q,\,t ...,m-\)(2, 12)
;=1
Практически наиболее важен случай равноотстоящих уз лов, т. е. случай, когда
x t= |
х { + |
t ■Ах , |
где А х —постоянно, а t=0, |
1, 2, |
..., п — 1. |
Если произвести линейное преобразование
1
t = —^ ~ (x — x 1) + 1 ,
то новый аргумент t будет принимать при х = х и х2, ..., х п первые п натуральных значений 1, 2, ..., п, а коэффициенты и свободные члены системы нормальных уравнений (1,4) со ответственно равны:
•5/= 1 '+ 2' + |
•••+ |
п1— |
/(г'=0, 1,. .., 2т—2) |
(2,13) |
|
|
|
7 = 1 |
|
|
|
|
п |
|
и bt= |
+ |
.. . + у пп‘ = ^ у у ‘,(1=0Л ,. ■.,т — 1) |
(2,14) |
|
|
|
|
i =1 |
|
26
То обстоятельство, что коэффициенты (2, 13) системы нор мальных уравнений имеют специальный вид сумм степеней первых п натуральных чисел, позволило для 5 решить си стему в общем виде.
При этом искомые параметры выражаются в виде линей ных форм
|
at = |
1)'+/+1 |
(Л) Ь1~ь (‘ = 0 , |
1 , •••, т - |
1). |
(2,15) |
||||||
|
7^1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данной работе находятся коэффициенты |
у™ |
ли |
||||||||||
нейных форм |
(2, |
15) |
|
в виде |
функций |
от п, для т= 2, 3, 4. |
||||||
С помощью ЭВМ |
были составлены |
таблицы |
коэффициентов |
|||||||||
у” |
для п = 2, |
3, ..., 50. (см. .приложение 1). |
|
|
|
|||||||
Эти таблицы освобождают нас от необходимости решать |
||||||||||||
систему (1, 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Система |
двух нормальных уравнений |
( т = 2). |
При |
||||||||
т = 2 |
система |
нормальных уравнений (1, 4) примет вид |
||||||||||
|
|
|
S0 &о 4” |
|
— b0 1 |
|
|
|
(2, 16) |
|||
|
|
|
Sx |
4“ S2 & 1 — bj |
j |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где в соответствии с (2, 3) |
коэффициенты равны: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Iй = |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sv |
|
S'" |
п(и + |
1) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
;=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
п (п + |
1) (2п 4- 1) |
|
|
|
|
|
|
S , = |
|
•2 _ |
|
|
|
|||||
|
|
|
У ~ |
|
б |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Sj=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в систему (2, 16) выражения для коэффициен |
||||||||||||
тов в виде функций от п. |
Тогда система (2, |
16) |
примет вид |
|||||||||
|
. |
л (« + |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
п а 0 + |
— |
------аг --- Ь0 |
|
|
|
|
(2,17) |
||||
|
п ( п + I) |
, |
|
п(л + 1)(2л+1) |
а1 = о1 |
|
|
|||||
|
2 |
а0-\- |
|
|
|
g |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Матрица А2 системы (2, 17) имеет определитель
А |
•So |
(л — 1)п*(п + 1) |
|
St S 2 |
12 |
||
|
отличный от нуля. Поэтому система (2, 17) имеет единствен ное решение, для нахождения которого вычислим обратную матрицу к матрице А2:
1 |
An |
A2i |
|
1 |
S 2— Sj |
ы 2| |
Al2 A 22 |
~ 1Л 1 |
- S x So |
||
|
n (л + |
1) |
(2n + 1) _ |
л (л +1) |
|
|
|
|
6 |
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
(n — 1) л2 (л + |
1) |
л ( л + 1) |
|
||
|
|
n |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2(2«+1) |
_ |
|
6 |
|
|
|
(л— 1)л |
|
(и— |
1) n |
|
(2,18)
6_________ 12
(n—l) II (П— 1) П (/2+ 1)
Здесь через Atj обозначаются алгебраические дополне ния (адъюнкты) элемента матрицы, стоящего на пересече нии i-ro столбца и /-й строки. Обозначим элементы матрицы
(2, 18) через = 1,2) . Здесь нижние индексы указыва ют соответственно номера строки и столбца матрицы, а верх ний индекс 2 — число уравнений системы (2, 16). Таким об разом
2 _ |
2 (2/1+1) |
|
|
"i11 |
(л— 1) п |
’ |
|
О ____ |
9 _____ 6 |
(2,19) |
|
Тп— |
Т21 |
(я_ 1)я |
|
2 _ _____ 12_____ |
|
||
Т22— |
(я_ 1) я (я+1) |
' |
|
В этих обозначениях решение системы (2, 17) имеет вид
й-а= Тп — Tl2 bi
(2,20)
fll= —T2|60-f Т22 bt
28
На ЭВМ по формулам (2,19) были вычислены коэффици
енты угу линейных форм (2, 20) для п от 2 до 50 включи тельно и сведены в таблицы. Таким образом решение систе
мы (2, |
16) можно получить, не решая и даже не выписывая |
|||
системы по формулам |
(2, 20), пользуясь таблицами. |
|
||
3. |
Система трех нормальных уравнений (т — 2>) |
|
||
Система трех нормальных уравнений имеет вид |
|
|||
|
50 й„ |
Si cix-Т S2 й-о— Ь0 |
|
|
|
51 а0 + |
S2 |
ах + S3 а2= Ьх |
(2,21) |
|
52 а04- S3 |
Й1-)- S4 ci2 — Ь„ |
|
|
где Si выражаются в соответствии с (2, 3):
S3 = |
|
j 3 = Jl4n±ll_ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
= 1 |
|
|
|
|
|
s , = 2 |
' - |
‘ |
n(/i+ l) (2/1+ 1) (3/1-+3/1—1) |
|
|||
' |
30 |
|
|
||||
|
7=1 |
|
|
|
|
|
|
Определитель матрицы A3 системы (2, 21) равен |
|||||||
\А*\ |
|
= |
(и—2) (я—1)а п3 (п+1)г (л+2) |
|
|||
|
|
2160 |
|
|
|||
а обратная матрица |
равна |
|
|
|
|||
1 |
|
|
АххАг\т431 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
з |
з |
„3 |
|||
|
|
|
|
|
7 п |
721 |
731 |
И, |
|
|
А12 vA22^32 |
7 12 |
722 |
Тз2 |
|
|
|
•^13 -^23 -^33 |
3 |
3 |
3 |
||
|
|
|
713 |
723 |
733 |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Ах |
_ |
3 (Зла + 3/г + |
2) |
|
|
|
Т и _ |
\At \ " |
(п—2) (п—1) и ; |
|
|
|||
з __ |
з |
__ |
^12______ —18 (2п—1) |
|
|
||
712— |
|
7 2 1 - |
| j4 i| - |
|
; |
|
|
з __ |
|
з _ |
^ 1з___________ 30______ |
|
|
||
7 13 — 7з1 |
| ^ | — (,г— 2) ( « — 1) л ’ |
|
|
||||
з „ _ Л 22__________12(2/i-H) (Бл+11) |
|
|
|||||
Т22 |
|Л, | “ |
(л-2) (/1-1) и (п+1) (л+2) |
; |
||||
29
3 Л8 3 _______________180____________
Т з з _ |Л| "" (л -2 )(л -1 )л (л + 1 )(л + 2) ;
зЛ33_______________—180_________
Т23= I Л3 I “ ( л - 2 ) ) (л -1 ) л (я+?) '
Решение системы (2, 21) имеет вид
«о = Tii Ь0— т?2 Ьг + 7?3 Ь2
а.\ = — Т21 + Т22 Ьх — -у23 ьй ■ .
а* — Тз Ь0— т|2 Ь3+ Тзз Ь2
4.Система четырех нормальных уравнений.
Система четырех нормальных уравнений (т = 4)
вид |
|
|
|
$оао + |
Slai + |
-$га2 + S3as — Ь0 |
|
SjCi0+ |
S^cii + |
S3a2-j- Stla3 = |
bx |
Sna04“ $за1+ |
54(72 -f“ SB#8 = |
b2 |
|
за о ~b |
4 " ^ a j - ] - S ea 3 = 6 3 |
||
(2,22)
имеет
(2,23)
где коэффициенты 5г выражаются в соответствии с (2, 3) :
|
п- (л +1)г (2 п-+2п—1) |
|
^ъ — |
12 |
’ |
__ |
п (л-П) (2я+1) (Зл'Ч-бя3—Зя+ 1) |
|
Определитель |
матрицы А4 системы |
(2, 23) |
равен |
||||
I ^ , |
_ (/г—3) (п—2)2 (п—I)3 п* (/г+ I)3 (л+2)2 (л+3) |
|
|
||||
4 |
~ |
6048000 |
|
|
|
|
|
а обратная матрица имеет вид |
|
|
|
|
|||
|
|
Ац j42i А33у\41 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
|
|
Til |
T21 |
T31 |
Т-11 |
||
|
|
А\3^22А32 А42 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
Ал 1 |
IAI |
Т12 |
Т22 |
Т32 |
т 12 |
||
А\з А23 А3з Ai3 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|||
|
|||||||
|
|
Aii Аз4 A3i Л44 |
Т 13 Тгз |
Тзз |
Т13 |
||
|
|
4 |
4 |
4 4 |
|||
|
|
|
Tl4 Т24 |
Т34 Т44 |
|||
30