Файл: Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.07.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 1
Полученные значения С и К свидетельствуют о наличии кор реляционной связи между рассматриваемыми величинами.
2.5. Определение коэффициентов уравнения корреляции
Для расчета коэффициентов уравнения корреляции (уравне ния регрессии), выражающегося прямой или кривой линией за висимости зависимого переменного A'i от независимого перемен ного Х2 необходимо:
1 ) выбрать подходящую форму уравнения на основе анализа корреляционного поля (корреляционной таблицы) или эмпири ческой линии регрессии;
2 ) составить систему нормальных уравнений для расчета ко эффициентов уравнения корреляции;
3) исчислить коэффициенты системы нормальных уравнений на основе расчетной корреляционной таблицы, либо на основе исходных статистических данных, представленных в табличной форме;
4) произвести переход к истинным значениям коэффициентов уравнения корреляции с учетом значений масштабов и подста вить их значения в исходное уравнение корреляции.
Определим коэффициенты линейного уравнения регрессии по
корреляционной таблице (см. |
табл. 5). |
Систему нормальных |
уравнений возьмем в виде |
|
|
— ^0 |
"^2Т ^12 |
2 ‘ |
Для определения численных значений постоянных членов си стемы нормальных уравнений по исходной корреляционной таб лице производятся следующие действия:
1 ) находим итоговые значения (частоты) по каждому столб цу и строке в отдельности. Эти значения записаны в первой стро ке внизу и в первом столбце справа от корреляционной таблицы; 2 ) умножаем величины интервалов, выраженные в виде на туральных чисел, на значения частоты в каждом интервале и произведения записываем во вторую строку (столбец). Суммируя
произведения по всей строке |
(столбцу), |
получаем |
.величину |
|
3) |
умножаем величину irii(jnj) каждого интервала на i(j) |
|||
произведения записываем в третью строку |
(столбец). |
Суммируя |
||
произведения по всей строке |
(столбцу), |
получаем |
величину |
|
По итоговым значениям, полученным в пп. 2 и 3, |
можно най |
|||
ти дисперсию каждого параметра по формуле |
|
|||
62
|
У,пр- |
У, пЛ |
2 |
У, njp |
2 |
(О |
п |
|
s 2 = . |
п |
|
|
°(Л |
|
|||
4) |
в каждой |
из клеток |
корреляционной таблицы, |
в которых |
|
записаны частоты, в правой стороне дробью вписываем резуль таты умножения величины каждого интервала, выраженного в натуральных числах с соответствующим знаком, на величину частоты, записанную в рассматриваемой клетке. Нижнее значе ние дроби соответствует произведению частоты клетки на значе ние интервалов результирующего параметра, (п^/), а верхние значения — произведению частоты клетки на значение интерва ла составляющего параметра (/г+). Так, например, для клетки, соответствующей интервалу результирующего параметра 3800— 3825 ( /= — 3) и интервалу составляющего параметра 3975—4000 (г = — 3), нижнее значение дроби будет равно 2 (— 3) = — 6 ;
5) по каждому столбцу (строке) производим сложение всех нижних (верхних) значений Пц1(пц1) с соответствующими зна
ками, |
в результате получаются суммы |
( |
2 /г'/ г) ’ К0Т0Рые |
||
записываются в четвертой строке (столбце) внизу (справа) кор |
|||||
реляционной таблицы. Суммируя значения |
/1/+ ) |
все1”1 |
|||
строке |
(столбцу), в итоге получаем^ |
nijJ (2 |
пЧ^\ Так, напри |
||
мер, для интервала результирующего |
параметра 1 = —2 значе- |
||||
ние ^ |
tlijJ |
Равн0 |
|
|
|
|
|
^ niji — 4 + 3 — 5 — 6 = — 4. |
|
|
|
Для этого интервала значение Е/г^у равно |
|
|
|||
|
|
En{j/ = — И —4 + 5 + 1 9 + 1 9 + 2 3 + 27 = 78; |
|
||
6) |
умножаем каждое значение Еп^у (Е/г3-,4) четвертой |
строки |
|||
(столбца) |
таблицы на значение интервала с |
соответствующим |
|||
знаком и произведение iE«,j/ (/ЕпдО записываем в пятую строку (столбец).
По приведенному порядку составлена табл. 16. Учитывая по рядок составления табл. 16 можно установить, что:
1 ) числа в первой строке под таблицей (в первом столбце справа) соответствуют частотам результирующего (составляю
щего) параметра; 2) числа во второй строке снизу таблицы (во втором столбце
справа) соответствуют значениям результирующего (составляю щего) параметра в соответствующем масштабе ^(JCg);
3 ) числа в третьей строке (в третьем столбце) |
соответствуют |
|
значениям |
+ * (-х:^); |
соответствуют |
4 ) числа |
в пятой строке (в пятом столбце) |
|
значениям |
х[х'г |
|
63
G,
4000ч-
3975
3975ч-
3950
3950ч-
3925
3925ч-
3900
3900ч-
3875
3975ч-
3850
3850ч-
3825
38254-
3800
ni
i n i
ftn i
Z n l } j
i X n u j
Таблица 16
|
|
|
' |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3975ч-4000 4000ч-4025 40254-4075 4050ч-4075 40754-4100 4100Ч-4125 41254-4150 |
nJ |
j 'li |
fiHj |
Yni / |
i Ynul |
j |
|||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
12 |
5 |
20 |
80 |
13 |
52 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
8 |
3 |
9 |
27 |
81 |
12 |
36 |
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
3 |
12 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
—4 |
—3 |
0 |
6 |
10 |
12 |
|
46 |
92 |
21 |
42 |
2 |
|
2 |
3 |
3 |
|
6 |
5 |
4 |
23 |
|||||
|
|
4 |
6 |
6 |
12 |
10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
—6 |
4 |
0 |
|
2 |
|
14 |
14 |
14 |
— 11 |
— 11 |
1 |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
|
||||||
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
—4 |
0 |
4 |
|
|
18 |
0 |
0 |
— 10 |
0 |
0 |
|
5 |
4 |
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
1
|
—6 |
-10 |
|
—3 |
|
0 |
|
|
11 |
—11 |
11 |
—19 |
19 |
—1 |
2 |
|
5 |
3 |
1 |
—1 |
|
|
|
||||||
|
—2 |
—5 |
|
—3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—6 |
—6 |
|
—1 |
|
|
|
|
6 |
—12 |
24 |
—13 |
26 |
—2 |
2 |
3 |
1 |
|
—2 |
|
|
|
|
||||||
|
—4 |
—6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
—6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
—6 |
18 |
—6 |
18 |
—3 |
—6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
18 |
|
15 |
17 |
12 |
10 |
9 |
88 |
78 |
320 |
—13 |
182 |
|
|
—21 |
—36 |
|
-15 |
0 |
12 |
. 20 |
27 |
—13 |
|
|
|
|
|
|
63 |
72 |
|
15 |
0 |
12 |
40 |
81 |
283 |
|
|
|
|
|
|
—11 |
—4 |
|
5 |
19 |
19 |
23 |
27 |
78 |
|
|
|
|
|
|
33 |
8 |
|
- 5 |
0 |
19 |
46 |
81 |
182 |
|
|
|
|
|
i |
—3 |
—2 |
—1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
В соответствии с табл. 16 имеем |
|
||
я = 88; 2 * ; = 7 8 ; |
2 |
* 2= - |
13= 2 ^ ' = 3 20 : |
2 ^ 2= 2 |
83 ; |
2 * & |
= 182- |
Тогда система нормальных уравнений запишется в виде
78 = 88^'— 13^2;
18^= — 13*' + 283^а.
Решая эту систему уравнений с использованием определите лей, находим значения Ъо и Ьп\
|
I |
78—13 I |
|
|
|
| 182-•283 | - 0 9881• |
|||
ио . |
88— 131 |
|
||
|
1— 13 |
2831 |
|
|
|
I |
88 |
781 |
|
А' — | —13 |
182 1—0 6884 |
|||
°12 |
I |
88--13 I |
|
|
|
|
— 13 283 |
|
|
Для получения истинных значений коэффициентов Ь0 и 6,з |
||||
необходимо в полученное уравнение |
корреляции вида л|= 6'т |
|||
-\-Ь'12х'2 подставить значения х'х |
и х 2 |
с учетом соответствующих |
||
масштабов по формуле |
|
|
|
|
*1 — *10_W I W *2— *20 |
||||
|
, |
U0 "Г”и\2 |
: |
|
|
l X t |
|
|
' X , |
С учетом этого уравнения переход от переменных х[ и х'2 к * , и Х 2 производится по формулам
= -Хм + b'QiXl — b’n Xl X 20; 1х .
Тогда
Ьа=3887+0,9881 •25 - 0,6884 — 4067 =1112;
25
Ьа = 0 ,6884 — = 0,6884.
12 25
Уравнение корреляции запишется в виде
* , = 1112+0,6884*2.
66
Прямая линия, изображающая это уравнение, |
показана на |
рис. 2. |
|
Если определение коэффициентов уравнения корреляции про |
|
изводится по системе нормальных уравнений, при |
составлении |
которой используются отклонения параметров от их средних-зна чений, то коэффициент Ь& найдется из соотношения
V № - F 2)2 V *2
Подставляя в это соотношение значения числителя и знамена теля из табл. 10, получим
^12 |
119099 |
0,758. |
|
157050 |
|||
|
|
Значение коэффициента Ь0 равно
Ь0= 3910—0,7584058=835.
Уравнение корреляции запишется в виде
X i= 835+0,758Л:2.
Прямая линия, изображающая это уравнение, показана на рис. 2.
Покажем на примере ранее приведенной корреляционной таб лицы порядок определения коэффициентов уравнения корреля ции в виде параболы второго порядка:
■^1 = Ьд-\-Ь12,Х2-\-Ь\2„Хч..
Система нормальных уравнений запишется в следующем виде:
= пЬ '^ Ь[2<'У^Х2 + Ь\2,^Х2'
2 |
2 х* ^i21 2 ^ |
^12=2 х% ’ |
'yi x [x'2"^=b’a'yi x '^Ar b\2i 2 ^ 2 3+^12= 2 ^ -
Для получения значений всех постоянных коэффициентов си стемы нормальных уравнений дополняем корреляционную табли цу строками (столбцами) снизу (справа), порядок получения которых приводится в табл. 17. На основании табл. 17 имеем
и = 8 8 ; |
2 * ; = 78; 2 |
’1>= |
~ |
13; 2 |
< |
= 283: |
2 ^ ; = i 8 2 ; |
2 = 17; 2 |
4 |
‘ = |
1771; |
Ъ |
х * х ' = ш - |
Тогда
|
7 8 = 8 8 6 ' - 1 3 ft;ai + 2 8 3 ft;a i ; |
з* |
67 |
|