Файл: Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении.pdf

При малом числе наблюдений (п<30) среднеквадратическая ошибка находится по формуле

Величина этой ошибки может заметно отличаться от действи­ тельного значения средней ошибки. Определение средней ошиб­ ки коэффициента корреляции на основе весьма колеблющейся эмпирической величины коэффициента корреляции дает постоян­ ную погрешность, уменьшающую значение коэффициента корре­ ляции в генеральной совокупности.

При рассмотрении вместо коэффициента корреляции вели­ чины

было установлено [14], что распределение этой величины мало зависит от численности выборки и от значения коэффициента корреляции в генеральной совокупности, быстро приближаясь к нормальному распределению при возрастании числа наблюде­ ний. Для малых выборок можно принимать приближенно z-pac- пределение за нормальное с дисперсией

Благодаря этому величину z удобно использовать для вероят­ ностей оценки выборочного значения коэффициента корреляции, позволяющую и при малочисленных наблюдениях пользоваться таблицей значений интеграла вероятностей. Для этого достаточ­ но по таблице значений z определить z, соответствующее полу­ ченному коэффициенту корреляции, и затем вычислить значение

величины t, как отношение t к его средней ошибке — - 1 .

V п— 1

Используя z-преобразование, можно в вероятностном отно­ шении оценить разность между коэффициентами корреляции для двух независимых, случайных выборок. В этом случае ошибка разности для величин zL и z2 может быть определена по фор­ муле

корреляции случайна.

Для примера оценим существенность различия между значе­ ниями коэффициентов корреляции /'1= 0,876 и /'2= 0,719 для двух

37

независимых выборок с числом наблюдений /гх== 100 и «2=150. Пользуясь табл. I [24], находим значения z2=l,3587; zo= 1,0959.

О 9fi98

Тогда !4rfz~0,131; / ^ ^ ^ - s 2 , 0 . B таблице интеграла вероятно­

стей такой величине t соответствует вероятность 0,8545. Таким образом, вероятность того, что разность между значениями двух коэффициентов корреляции, обусловленная случайными ошибка­

выборки, для которых вычислены коэффициенты корреляции, взяты из имеющих разную корреляцию совокупностей.

В связи со случайным характером статистической информа­ ции определенный по ней коэффициент корреляции может быть отличен от нуля и для тех переменных, между которыми и не должно быть корреляционной связи. Следовательно, для провер­ ки гипотезы об отсутствии корреляции необходимо проверить, значимо лн получаемое значение коэффициента корреляции от нуля.

Поскольку значение коэффициента корреляции для генераль­ ной совокупности случайных значений неизвестно, то проверяется гипотеза об отсутствии корреляции для этой генеральной сово­ купности. Для этой цели используются таблицы квантилей Z- распределения, зависящего только от количества сопряженных пар .наблюдений. По этим таблицам находится значение выбо­ рочного коэффициента корреляции для определенной довери­ тельной вероятности в предположении, что корреляция в гене-

38

ральнои совокупности случайных значений параметров отсутст­ вует. Сравнивая это значение с произведением абсолютного зна­

чения коэффициента корреляции на ]/"п — 1 , устанавливают зна­ чимость выборочного коэффициента корреляции. Если величина

Так, для /г= 26, /'=0,793 произведение \г\Уп— 1=3,96.Если это число больше табличного значения даже для р = 0,999, то корре­ ляционная связь между параметрами существует.

Аналогично тому, как это было приведено для коэффициен­ та корреляции, оцениваются надежность и находятся гарантий­ ные границы корреляционного отношения, для которого средняя квадратическая ошибка вычисляется по формуле

и коэффициента регрессии, для которого средняя квадратическая ошибка будет

sx, УI — г2

(54)

sx? -/п

Смысл этой формулы может быть уяснен, если представить квадрат ошибки коэффициента регрессии

DxSxt

В числителе формулы квадрата ошибки фигурирует остаточная дисперсия значений зависимой переменной, характеризующая их колебания около линии регрессии, в знаменателе — сумма квад­ ратов отношений значений независимой переменной. Ошибка тем меньше, чем меньше остаточная колеблемость значений за­ висимой переменной по отношению к колебаниям значений не­ зависимой переменной. Иными словами, величина ошибки коэф­ фициента регрессии определяется случайными колебаниями зна­ чений зависимой переменной около линии регрессии, для которых в общей колеблемости этой переменной тем меньше, чем точнее определена линия регрессии.

Проверка статистической значимости i] при малой инфор­ мации проводится по z-преобразованию Фишера:

так как ^-распределение близко к нормальному уже при малом

39

числе наблюдений со средней z и среднеквадратической ошиб­ кой:

zг--------------

уп — т— 2.

где т — число учитываемых в модели параметров .(независимых переменных).

Если отношение — превышает соответствуйте пределы /при

Sz

заданной вероятности P (t), то гипотеза о равенстве т) нулю в ге­ неральной совокупности отвергается и т) признается значимым. Выражение (55) позволяет рассчитать ошибку г| и с задан­ ной вероятностью, т. е. оценить пределы значении этих величин

соответственно подставлять значения нижнего и верхнего преде­ лов т), полученных по формуле (56).

Средняя ошибка определения результирующего параметра по

На практике часто возникает необходимость в получении до­ верительных интервалов для значений Ь0 и bi2 уравнения рег­ рессии, а также в оценке отклонения истинной прямой регрессии от эмпирической при некотором заданном значении независимой переменной Х2—Х20.

Истинное значение Ь0 лежит в пределах доверительных гра­

где tp — нормированное отклонение, определяемое по таблице интеграла вероятностей для выбранной степени доверия и числа степеней свободы п— 2 ;

Sbo — исправленное среднеквадратическое отклонение

40