Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf

^afcôibf

,

[Coiо).

жения

секущей

плоскости, т . е . будет функцией

1

:

Пусть

X

меняется

в интервале

от Я-

до Ь

и

О (Л)

непрерывная в

этом

Интервале функция. Будем

считать, что

функция

нам известна и поставим задачу об опре­

делении

объема

рассматриваемого

тела.

ром с

площадью

основания ö ( . i j

и

высотой

&ХК

. Объем

такого

цилиндра

равен

Q (X,.)

,

т . е .

Это выражение называют

э л е м е н

т о м

о б ъ е м а

данного тела. Сумма

Z l ß f r ,

. ) ^ , .

,

очевидно, впра­

в о

4

Предел

этой суммы, при

неограниченном

уменьшении

Наибольшего

из

элементарных

интервалов àjdK

, естествен­

но принять

за

объем данного

тела . С другой

оторонн, предел

функции 0.{'Х)

на интервале

fO.,^J ,

равен

определенному

интегралу от функции

Q (7^j

в пределах

от О-

до h

.

Следовательно,

объем

if

данного тела

определяется

по

формуле:

^ _

0

{xjdx.

=j

—Г •+* яТ +

S

О

РЕШЕНИЕ. Сечением

эллип­

соида плоскостью,

парал-

*

лельной плоскости

и отстоящей от нее на

расстоянии,

равном

X ,

f

г1

,

тг

будет эллипс |

,

^

:

f

или

f

=/

о полуосями

/)t = д Ѵ а* - гГ*

и

C ^ - g - Z ö ' - X 1

Площадь

этого

эллипса,

как нам

известно,

равна

JT6( C,

, т . е .

Находим

теперь

объем эллипсоида:

4

- а

-а

Заметив,

что

в

Случае

Q-~ Ь-

С

эллипсоид

прев­

ращается в пар,

формула

объема

которого

получается,

как

частный

случай

формулы

объема

эллипсоида.

-

32

-

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЦШЯ

Если тело

образовано

вращением

вокруг оси

0%

криволинейной

трапеции, ограниченной

кривой

^

,

осы)

О Х

и пряными

х-а

,

хЛ

,

то

любое сечение

тела

плоокостьв,

пер­

пендикулярной

к

оси

ОХ

,

будет

круг,

площадь

которого

Следовательно,

объем

тела

определяется

формулой:

g

fix.

Если

кривая,

ограничивающая криволінейнув трапецию,

задана уравнениями в параметрической форме

X=*f[b)

,

^'^W

• т о

полученная

формула запмиется:

Ч

і где tj

и

£ г

находятся

из уравнений

y f t J = C t

•

Заметим, что объем тела, полученного

от

вращения

вокруг

оси

04

криволинеййой"трапеции,

ограниченной

линиями Х= ' / ( и )

,

Х~0

,

у=Ш.

И

определяется формулой:

Пример. Фигура,

ограниченная

линиями

У г - £

и

{

I вращ&етіія

вонруг оои

О Л" . Найти1

Ьоьеи

полученного тела вращения.

РЕШЕНИЕ.

і

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ

Пусіь под действием

некоторой

силы F

мате­

риальная точки перемещается

по прямой

O'JC

, причем

Найдем

работу

А

силы

I-

при перемещении

точки

от положения

Х~И-

до

положения

. £ = $ •

Предположим»

что

величина

силы

f~

МейрерЫйНо

меняется

в зависимости

от

положения

перемещающейся точки}

т . е і

FzF(xJ

.

Разобьем

точками

І±

> i j

ц..,

Jt h

£

интервал

fÖ.4 èj

на

Й.

элементарных

интерва­

лов

a

t K

s ^

- i w

( k = l , i » . . .

à

) .

Будби

считать, что в пределах элементарного ййтерввла

ist*

сила не изменяется и равна

І iljJrt

э-rdit

Предположе­

нии работа

на пути

Й-І^

равна

^ " f i

j

à

^

,

т . е .

Работа при

перемещении

точки йз положений

St=tt

s положение

Х-^

приближенно выразится

ЬУнмой

К.

'элементарных интервалов

$ І ѵ

-и

стремлении к нули

наибольшего из них, естественно принять за

работу Je

переменной силы F [х)

на отрезке

^ Й , и J

•