Файл: Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами.pdf

где Р»х = —т2Х 3,Р„ал-= —т3Х 3,а FTp определяется равенством

(1). Из геометрических соотношений для рассматриваемого меха­ низма координата центра масс ползуна Х 3 определяется следующим образом:

Х3 = г cos a + A cos у -f- I cos ß.

Дважды дифференцируя последнее равенство по времени, полу­

= — Д(у sin у + у2 cos у). Разрешая уравнение (83) относительно R, получим другую формулу для определения величины реакции в паре 1—2:

Знаменатель этого выражения также может обратиться в нуль при

Для того чтобы иметь возможность сравнивать величину реак­ ции в механизме с зазором с величиной реакции в идеальном меха­ низме, воспользуемся кинетостатическим анализом идеального кривошипно-ползунного механизма [10]. Разложим реакцию в шатунном подшипнике на две составляющие: одну вдоль шатуна

Ru, а вторую— перпендикулярно к н ей — RI (рис. 5). Тогда, приравнивая нулю сумму моментов сил, действующих на шатун

45

относительно точки В , согласно принципу Даламбера, получим

шатуна на оси координат X и У соответственно X® и У?, а также угловое ускорение ß3 определяются из геометрических соотноше­ ний в рассматриваемом механизме аналогично тому, как определя­ лись соответствующие ускорения в механизме с зазором. Разре­

шая уравнение (85) относительно Ru, найдем тангенциальную составляющую реакции в шатунном подшипнике:

Я” = Т - (тг + sin ßo + s cos ßo + Y°s cos ß) .

Теперь приравняем нулю сумму проекций на ось X сил, дей­ ствующих на шатун и ползун. Получим

2х = — Я„ COS ßo + Ra sin ßo + PнХ + Риз X + F — 0,

Полная реакция в шатунном подшипнике идеального криво-

Для вычисления этой реакции в нестандартную часть общего моделирующего алгоритма следует добавить соответствующий опе­ ратор.

Определение ошибок положения, скорости и ускорения кривошипно-ползунного механизма с зазором в паре кривошип — шатун

Методы линейной теории точности механизмов позволяют опре­ делять ошибки положения и перемещения аналитическим или графо­ аналитическим путем при заданном положении механизма [11]. Для механизмов с зазорами в низших кинематических парах в рамках линейной теории точности можно вычислить ошибки ско­ рости и ускорения их ведомых звеньев, однако при этом указанные ошибки должны быть малыми величинами [37, 38].

46

В работах по нелинейной теории точности [17, 18] разработа­ ны методы определения ошибок положения, скорости и ускорения механизмов без каких бы то ни было ограничений, накладываемых на их величины. Эти методы основаны на применении средств вы­ числительной техники при решении задач точности механизмов. Совместное решение уравнений движения идеального механизма и механизма с зазорами при одном и том же законе движения ве­ дущего звена позволяет находить зависимость ошибок положения, скорости и ускорения от координаты ведущего звена.

Применим методы нелинейной теории точности к определению ошибок положения, скорости и ускорения кривошипно-ползунного механизма с зазором в паре кривошип — шатун. Положение ведомого звена, в данном случае ползуна, в неподвижной системе координат,

Дифференцируя (87) по времени, найдем скорость и ускорение ползуна:

Х3 = — гео sin а ф- х — /ß sin ß

и

Х 3 = — гео2 cos а ф- X — / (ß sin ß ф- ß2 cos ß).

Для идеального кривошипно-ползунного механизма будем иметь

и

Х 3 — — гео2 cos а — / (ßo sin ß0 ф- ßocos ß0).

Угловая скорость ß0 и угловое ускорение ß0 для идеального механизма можно определить из геометрических соотношений сог­ ласно рис. 5:

ßo = гео cos а// cos ß0

и

ßo = (— гео2 sin а ф- /ßo sin ßo)// cos ß0.

Угловая скорость ß и угловое ускорение ß для механизма с за­ зором находятся, как показано ранее, из решений уравнений дви­ жения по формулам (21) и (27) соответственно.

Тогда, используя полученные выражения, согласно [17], ошиб­ ки положения, скорости и ускорения рассматриваемого механиз­ ма можно записать в следующем виде:

47

Для вычисления по формулам (88) — (90) в общий моделирую­ щий алгоритм следует добавить соответствующие арифметические операторы.

Моделирующий алгоритм исследования динамики кривошипно-ползунного механизма с зазором

После соответствующих изменений в нестандартной части об­ щего моделирующего алгоритма его подробная операторная схема для рассматриваемой задачи может быть записана в следующем виде:

A Q 22’ 3M 3Q4< .M M *P eleQ7’ .»Л ІМ в/ю Л цЛ йРиіиЛ ІГ

Соответствующая блок-схема программы приведена на рис. 6. Пунктиром обозначены нестандартные блоки программы, которые соответствуют операторам / 3 и / 8 блок-схемы на рис. 4.

После подготовки исходных данных, перевода их из десятичной системы счисления в двоичную, задания начальных условий, пе­ чати конкретных расчетных параметров механизма и выбранных на­ чальных условий управление передается арифметическому опера­

ражения (76) при заданных параметрах механизма и выбранных начальных условиях обращается в нуль, то управление передается последовательно оператору печати Q,, который отмечает на выход­ ном устройстве момент обращения Ф2 в нуль, арифметическому опе­ ратору Ag для изменения координаты у по формуле (78) и, наконец, вновь оператору А ь.

В начале работы программы, когда еще не просчитан ни один шаг и нет значения независимого переменного tk_1 на предыдущем

будет работать каждый раз, когда оказывается выполненным ус­ ловие Ф2 = 0. Если же это условие не выполняется, то управление передается арифметическому оператору Л9 для вычисления значе­ ния второй производной т' по формуле (79), после чего вступает в действие оператор / 10, производящий интегрирование уравнений движения (80) по методу Рунге — Кутта четвертого порядка. Этот оператор строит команды обращения к библиотеке стандартных программ вычислительной машины и задает исходную информацию, необходимую для работы выбранной стандартной программы.

После того как проинтегрированы уравнения движения на каж­ дом шаге с заданной точностью, управление передается арифмети­ ческому оператору Ап , в котором вычисляются ошибки положения,

48

L —___Г__________J

Рис. 6