ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 195
Скачиваний: 0
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ |
17 |
турная функция G (I) — Е | Р,у р, i0 < t < Т, абсолютно непрерывна относительно структурной функци.и F(t) =
= |
E \ P txf , |
t0< t < T (G {t) < F(t)). Как было факти |
||
чески показано выше, максимальный |
элемент .т е Я |
|||
с |
максимальным структурным типом dF (t) |
всегда |
||
существует (см. (2.3)). |
элемент |
в про |
||
|
Пусть |
.V, е Я ® — максимальный |
||
странстве ЯШ и Я1(0 = Е| PtX] |2, i0< t < T . Пусть х2— максимальный элемент в подпространстве Я (£) @ Я (х;)
и |
f 2(/) = |
Е | Р,х2р, |
t0< t < T . |
Вообще, |
пусть |
xk — |
|||||||||||
максимальный элемент в подпространстве |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Я (1 )0 |
|
© Я (Xj) |
|
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
L/=i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fk(f) = |
E\P,xh ?, |
t0 < t < T ; |
k = |
\ , |
|
M. |
||||||||||
Очевидно, |
обновляющий |
|
процесс |
X {t) = |
{J>f(/)}f, |
||||||||||||
t0 < |
l < T, |
с |
компонентами |
Xj(t) — PtXj, |
t0< t < T\ |
||||||||||||
j — 1, . . . , |
M, будет иметь структурные функции Fj(t), |
||||||||||||||||
t0< t < M , |
у п о р я д о ч е н н ы е |
в том |
смысле, |
что |
|||||||||||||
|
|
|
dFl (f)> d F i ( i)> . . . |
> d F M(t) |
|
|
(2.4) |
||||||||||
(т. е. каждая |
из мер |
dFj{t) |
абсолютно |
непрерывна |
|||||||||||||
относительно |
предшествующих |
d/7, (/), . .. , |
d F j-x(t)). |
||||||||||||||
|
Ниже мы покажем, что упорядоченные структурные |
||||||||||||||||
типы |
(2.4) |
определяются |
однозначно |
|
по семейству |
||||||||||||
Я,Ш,. |
t.0 < |
t < |
Т; |
точнее, |
для |
любого обновляющего |
|||||||||||
процесса |
Г (/) = |
{F, ( ^ |
|
(Я,(У) = Я,(£), |
f0 < t < Т) |
||||||||||||
с упорядоченными структурными |
функциями |
Gk(t) = |
|||||||||||||||
= Е|Кд.(/)12, |
t0 < t < T |
|
(т. |
е. |
такими, |
что |
rfG, (t) )> |
||||||||||
> d G 2(t)> |
. . . |
dGN(/)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
N = |
M, |
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
||
|
|
|
dGj (t) ~ |
dF j (t), |
|
j = |
1, . . . , |
M |
|
|
|||||||
(соответствующее число M обычно называют крат |
|||||||||||||||||
ностью). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Будем |
для краткости говорить, что |
мера |
dG (t) |
|||||||||||||
подчинена |
dF (t), |
если |
она |
абсолютно |
|
непрерывна |
|||||||||||
относительно меры dF (t): |
|
dG (t) <( dF (i), |
и dG(t) |
орто |
|||||||||||||
i
18 |
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. I |
гональна |
dF(t), если эти меры имеют непересекаго- |
|
щиеся носители: dG(t)LdF(t). |
огра |
|
Пусть |
dF(t) — произвольная положительная |
|
ниченная мера на отрезке [/0, Т), подчиненная макси
мальному |
структурному типу |
|
dF* (t) ~ |
dFx(t). |
Суще |
||||
ствует |
элемент |
x e //( g ) |
со |
структурным |
типом, |
||||
в точности |
равным dF (t), |
т. |
е. |
такой, |
что |
|
|
||
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |Р ,Х 'Р = J dF(s), |
|
t0< t < |
Т, |
|
|
||
например, |
можно взять |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
где, |
напомним, |
F, {t) = |
Е ] |
Z, (t) |2 — максимальная |
|||||
структурная функция (см. |
2.4)). Очевидно, все |
эле |
|||||||
менты |
г/еЯ (£ ) со структурными типами dG{t), |
под |
|||||||
ч и н е н н ы м и dF (t), образуют линейное |
подпрост |
ранство, которое инвариантно относительно |
проекто |
ров Рt, tQ< t < Т.
Рассмотрим систему элементов у{, уъ ..., г/„еЯ (£) с одним и тем же структурным типом dG (t), такую, что подпространства Н (ук), порождаемые величи
нами Р{ук, |
t0 < t < T , |
ортогональны |
при различных |
k = \ , . . . , |
п. Систему |
г/,, . . . , уп |
назовем макси |
мальной, если ее нельзя расширить; точнее, если не существует элемента //е Я (£ ), ортогонального под пространствам FI{yk), /г = 1, . . . . п, и имеющего своим структурным типом dG(t). Очевидно, макси мальная система существует.
Л е м м а |
1. Если г/,, . . . , у,п— максимальная |
си |
|
стема, а у[, |
. . . , у'п — некоторая система |
с тем |
лее |
структурным |
типом dG(t), то |
|
|
|
п^.пг. |
(2.6) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим сначала, |
что |
||
|
m |
|
|
подпространство L = ® Я(г/у) совпадает со всем про
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ |
19 |
странством Я (£). Если ввести |
Ys {t) = Pty}, |
t0 < t < Т |
||||||||||||
/ = |
1, |
|
ш, то элементы у[, . . . , |
? / 'e L |
можно |
|||||||||
представить в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
т |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к = J |
|
|
dY^t), |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
<0 |
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
где функции ckj{t) удовлетворяют условию |
|
|
||||||||||||
|
Т |
m |
|
|
|
|
|
|
k = |
1.........m. |
|
|||
|
I |
|
Ck,(t) fdG(t) < |
оо, |
|
|||||||||
|
h /=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
все |
элементы |
у\, . . . , |
у'п |
имеют |
одну и |
||||||||
ту |
же структурную |
функцию |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
G '(0 = |
f |
^ |
| c ft/(s)|2rfG(S), |
k = |
l, . . . , |
n, |
|||||||
|
|
|
U /=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
при |
условии |
ортогональности |
|
подпространств |
|||||||||
Я ((/'), . . . . |
Я (у') должно быть |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
t m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(•Р(У'{Ук) = |
f |
S |
сч ^ |
сы ^ |
dG ^ |
= |
°* |
если |
г’ ^ |
||||
|
|
|
/. |
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТО |
m |
|
|
|
|
m |
|
____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S ] c * / ( 0 P = 1 . |
2 |
О/ 00 Cki (t) = |
0 |
при |
г =£6 |
||||||||
|
/=i |
|
|
|
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
для почти |
всех t |
относительно |
меры dG (t). |
Видно, |
||||||||||
что векторы ck(t) = |
{ckj(t)}"\ |
k = |
l, |
|
п, с компо |
|||||||||
нентами |
ckj{t), |
|
у = |
1, |
|
т , в т-мерном |
векторном |
|||||||
пространстве (с обычным |
скалярным |
произведением) |
||||||||||||
образуют ортонормированную систему. Как известно, число элементов такой системы не превосходит раз мерности пространства, т. е. п ^ т .
Общий случай сводится к только что рассмотрен ному с помощью следующего приема. Введем про странство Я всех элементов, структурные типы ко торых подчинены dG ((), а в нем подпространство
20 |
|
|
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. I |
|
|
т |
|
н его ортогональное дополнение |
Ь0 = |
|
L = Q H ( i j j ) |
|||||
|
/'= I |
По |
определению |
максимальной системы |
|
— H Q L . |
|||||
уи |
ут |
в |
подпространстве |
Ц нет ни одного |
эле |
мента со структурным типом dG(t). Поэтому, если dG0{t) — максимальный структурный тип в инвариант
ном |
подпространстве |
L 0, |
то |
dG (t) = |
dG0(t.)Q)dG (t), |
где |
dG{t) — некоторая |
н е н у л е в а я |
мера, ортого |
||
нальная dG0(t). Рассмотрим |
новое |
пространство |
|||
Я — подпространство в Я |
из всех элементов со струк |
||||
турными типами, подчиненными dG{t). Легко видеть, что поскольку меры dG0(t) п dG(t) ортогональны, подпространства Ь0 и Я с максимальными структур
ными |
типами |
dG0(t) |
и |
dG (/) будут также |
ортого- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
_ |
|
где, напомним, |
|
т |
|
|||||
нальны, и потому Я е Д, |
L = © Н(у,). |
|||||||||||||||
|
Если |
Д0 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=i |
|
||
|
Д — непересекающиеся носители орто |
|||||||||||||||
гональных |
мер |
dG0(t) |
|
и dG(t), |
то |
|
всякая |
величина |
||||||||
г\ ^ Н ( у к) может |
быть |
представлена |
в виде |
|
|
|||||||||||
|
|
г |
|
|
|
|
J ф(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ П= J |
Ф (0 dWj (t) = |
|
(t) ® J |
ф (/) dV, (t) |
|
||||||||||
|
|
tв |
|
(4^ (t) = |
Ao |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
Pty,, |
t0< |
t < |
T), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J ip (t) dx¥ , e= H. |
|
||||||
|
% = |
{ |
'Ф {t) dWj (/) <= L0, |
rj = |
|
|||||||||||
|
|
|
“in |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
Ясно, |
что |
элементы |
|
z/ = |
J d lF/ (/), |
/ = |
1, |
. . . , |
m, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
с одним |
и |
тем |
|
структурным |
типом |
dG (t) |
образуют |
|||||||||
в Я максимальную систему, |
причем подпространство |
|||||||||||||||
_ |
1П |
|
|
|
|
|
|
с пространством |
^ |
Таким |
||||||
L = |
® Я (z,) совпадает |
Я. |
||||||||||||||
|
/= I |
|
вместо |
исходных |
систем |
|
г/,......... |
у,п |
и |
|||||||
образом, |
|
|||||||||||||||
у[, |
. .., у'п со структурным типом |
dG (t) мы можем |
||||||||||||||
рассматривать |
системы |
элементов |
zs, |
j = |
l, |
. . . , |
/п, |
|||||||||