ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 170
Скачиваний: 0
12 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ 1ГЛ. I
лежаще |
выбрав |
функцию |
a ( i ) > 0 |
и положив k(t) = |
|
= а (t) Xj (t) при |
l e i , , |
j = 1, . . . , |
M. |
Рассмотрим |
|
|
t |
|
|
|
|
l ( t) — | |
| (s) ds. Очевидно, Ht(£) s |
Ht (X) |
при всех t, |
||
*0
причем Xj(s) совпадает с производной £'(s) для почти
всех |
s e i j , |
и |
поскольку g '(s)e tf,(g ) |
при |
|||||
а множества |
Ау |
всюду плотны в интервале |
(t0, Т) и |
||||||
процессы |
X j{s) |
непрерывны слева, |
то |
I |
( ( s ) e / / ,g ) |
||||
при |
всех |
|
|
так что |
Н ,(Х )^ Н ,{1) |
и, |
следова |
||
тельно, X (t) |
является обновляющим процессом для |
||||||||
н е п р е р ы в н о г о п р о ц е с с а | (/), t0< |
t < |
Т. |
|||||||
Приведем один из примеров такого типа множеств |
|||||||||
А], Д2, ■ • • |
|
|
множество |
интервала / = |
|||||
Пусть |
/ \ — канторово |
||||||||
= (ф, Т), |
получающееся |
последовательным |
выбрасы |
||||||
ванием «смежных» интервалов /щ; |
/щ, |
/3/1; l\/s, h/s, |
|||||||
/5/s, |
h/s и т. д., |
которые выбираются так, |
чтобы мера |
||||||
|
|
|
ц (К) = ц (/) — 2 Р (/а) = |
/». |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
где |
m > |
0 — заданное число (//г ^ ц (/)). |
|
|
|
||||
На каждом смежном интервале/и, «первого класса» |
|||||||||
возьмем |
свое |
канторово |
множество |
Ка< |
меры т а,, |
||||
которое получается выбрасыванием из /а, смежных
интервалов /а„ а, (а, |
пробегает двоично-рациональную |
последовательность |
1/2, 1/4, 3 /4 ,...). Положим |
К 0> — { J Ка,- Далее, на каждом смежном интервале/а1Па
а,
«второго класса» возьмем снова канторово множе
ство Ка.а, меры /Па,о,. получающееся |
выбрасыванием |
|
из /а,а. |
смежных ИНТерВЭЛОВ / а,а2а,. |
ПОЛОЖИМ /<'(2) = |
= U |
Продолжая эту процедуру последова- |
|
Ql, Ч2 |
|
|
тельно для всех смежных интервалов h x ... „ и пола
гая К{п)= |
( J Ка1 ... ап, мы получим последова- |
а 1 |
........а п |
тельность |
н е п е р е с е к а ю щ и х с я множеств К(0)—К, |
|
/С(|), К{2), |
• ■ •, Юп)......... |
Предположим, кроме того, что |
§ 1] |
|
|
|
ВВЕДЕНИЕ |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
со |
|
объединение |
( J 1С'1) имеет полную меру: |
2 ^ ( ^ ('1)) = |
|||||
|
|
|
,1=0 |
|
|
п=0 |
|
= |j,(/) (этого |
можно добиться, выбрав |
надлежащим |
|||||
образом |
меры т а, . . . а „ > 0 |
отдельных |
каиторовых |
||||
компонент Ка{ ... а„). |
|
|
|
||||
Напомним, что канторово множество Ка, |
... ап |
||||||
нигде |
не |
плотно |
в /а, ... ап и всякий интервал |
6„ Е |
|||
^ / а |
... а |
имеет |
непустое |
пересечение |
с некоторым |
||
смежным интервалом следующего класса /а, ... а,(а,1+|.
Возьмем любой интервал (я, |
й ) е / |
и |
рассмотрим |
||
вложенный |
в него |
интервал |
(а', Ьг), |
а' = а + в\ |
|
b' = b — е. |
Как было |
отмечено, |
(я', Ь') |
имеет непустое |
|
пересечение с некоторым смежным интервалом /а,; положим 6 , = (а', Ь')[\1а,- Интервал б и м е е т не пустое пересечение с некоторым смежным интерва
лом 1а,1а5; положим 62 = |
61 П/а,а3Уже ясно, что интер |
|||||
вал (а', |
b') при любом |
« |
имеет непустое пересечение |
|||
с |
некоторым |
смежным |
интервалом 1а{ ... а . Но |
|||
р (/а, ... а„)-^ 0 , |
и при |
|
достаточно больших « (для |
|||
которых |
р (/а, ... а„) < е) |
соответствующий |
интервал |
|||
/а |
... ап, |
пересекающийся с интервалом (я + |
е, b — в), |
|||
целиком входит в первоначальный интервал (я, Ь).
Итак, всякий |
интервал (я, b) s |
/ |
для всех достаточно |
|||
больших « содержит |
некоторый |
смежный интервал |
||||
««-го класса» Iaj ... а , |
а |
следовательно, |
содержит и |
|||
множество |
К(п) с /а[ ... |
а |
положительной меры |
|||
р (K(rt)) = mUl). |
Разобьем |
теперь |
последовательность |
|||
целых положительных чисел « = |
0, 1, . . . |
на счетное |
||||
число непересекающихся подпоследовательностей пи,
«,2, . . . ; «21 > «22> • • • ; • . . и положим
оо
|
Ар = ( J |
К^'1рч'*’ |
Р = |
1 , 2 , . . . |
|
9=1 |
|
|
|
Очевидно, |
всякий |
интервал |
(я, |
b) s / содержит при |
достаточно |
больших q множества К^Пр^ положитель |
|||
14 |
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. I |
ной меры т^ прч\ так что ц ((а, Ь) П Ар] > О
для всех р — 1, 2, . ..
§ 2. Структурные типы и подчиненные процессы
|
1. Некоторые |
вспомогательные |
предложения *). |
||||
Пусть |
t0 < t < T , |
— семейство |
монотонно |
воз |
|||
растающих |
непрерывных слева |
подпространств |
//,(£) |
||||
в |
сепарабельном |
гильбертовом |
пространстве |
Н (£), |
|||
и |
Pt, t0< t < T , |
— соответствующее |
семейство |
про |
|||
екционных |
операторов |
(Р<— операторы ортогональ |
|||||
ного проектирования на #,(£), t o < t < T ) . |
|
||||||
|
Возьмем |
произвольный элемент |
х е Я ® и рас |
||||
смотрим замкнутую линейную оболочку всех величин
Р/Х, t0 < t < T , |
обозначив ее Н (х). |
Подпространство |
||
Н (.у) состоит из всех |
величии вида |
|
||
|
|
т |
|
|
|
Л = |
/ |
Ф (0 с1Ф (/), |
(2.1) |
|
|
*0 |
|
|
где <fr(t) = Ptx, |
t0< t < T , |
а функция <p(t) удовлетво |
||
ряет условию |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
J I ф (0 I2 dF (t) < оо
^0
{F(t) = Е| Ф (t) |2 — структурная функция процесса с не коррелированными приращениями Ф((), t0 < t < T ) .
Пусть у е Я ( х ) . Согласно общей формуле (2.1) величина у представима в виде стохастического интеграла
|
т |
|
|
У = |
{ 4>ух (0 |
(0. |
|
*) По существу, здесь в основном излагаются хорошо |
|||
известные факты теории |
«спектральных |
типов» |
(см., например, |
обзорную статью А. И. |
П л е с и е р а и В. |
А. Р о х л и н а, |
|
Спектральная теория линейных операторов, |
Успехи матем. |
||
наук I, 1 (II), (1946)). |
|
|
|
§2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЁННЫЕ ПРОЦЕССЫ |
15 |
так что
|
|
Pty = |
t |
f |
qdOv(s),( s ) |
k < t < T, |
|
|||||
|
|
|
^0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и структурной функцией |
процесса |
lF (t) = |
Pty, tQ< |
|||||||||
< t < T , |
будет |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G (0 = |
E | 4' (t) P = |
J |
I <9JX, |
(s) f dF (s), |
t0 < t < T . |
|||||||
Как |
мы |
знаем, |
пространство Н (у) |
состоит из всех |
||||||||
величин вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
т |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
11 = |
J Ф(0 d'Y (t) = |
|
J ф (0 % х (0 йФ (0, |
||||||||
|
J I Ф (0 I2 dG (0 — J I Ф (0 Фул: ( 0 12 ^ |
W < |
00• |
|||||||||
|
<0 |
|
|
|
<0 |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим Д |
н о с и т е л ь меры dG{t). Очевидно, |
|||||||||||
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
ф (0 d'F (/) = |
J |
ф (0 d'F (t) = J |
ф (t) q v (t) d<S>(0. |
||||||||
и |
|
|
д |
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
Поскольку dG (t) = | |
q)y.v (t) j2 dF (t), |
to <$lJX(t) ф 0 почти |
||||||||||
всюду на множестве Д, и, |
положив |
q)(/) = |
ф (t) q>yx(t) |
|||||||||
при |
t е |
Д, получим, что |
пространство |
Н (у) состоит |
||||||||
из всех |
величин |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T ,= |
Jq>(0 **>(*), |
|
|
(2-2) |
||||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
где |
J | q)(0 12d.F(t) < |
оо. Полезно отметить, |
что в слу- |
|||||||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чае, |
когда меры dG (t) |
и |
dF (t) э к в и в а л е н т н ы |
|||||||||
dG ~ |
dF, Д есть одновременно носитель меры dF(t) и |
|||||||||||
имеет место |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Н{у) = Н{.к).
16 |
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. I |
||||||
|
Обратимся теперь к некоторому обновляющему |
|||||||
процессу X (/) = |
{Xj (/)}''', |
t0 < |
/ < |
Т, |
определенному |
|||
соотношениями типа (1.4): |
Xt {f) = |
Ptxt, / = 1, . . . , |
М, |
|||||
где |
элементы |
лу |
выбраны |
таким |
образом, |
что |
||
X, (s) _L Xk{t) для |
всех s, |
t при j ф k, |
так что |
|
||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
Я ( 1 ) = ® Я(лу).
у= 1
Поскольку каждое из ортогональных между собой подпространств Я (лу) и н в а р и а н т и о относительно
проекционных операторов Р(, |
tQ< t < Т, для всякого |
|
элемента г / е Я (|) |
имеем |
|
|
м |
|
Р,у = |
0 Р,Ук, |
t o < t < T , |
|
k—\ |
|
где ук— проекция у на соответствующее подпростран
ство Я (лу.), |
k = |
1........ М. |
Мы знаем, что структурные |
||||
функции Gk(У) = |
Е | Р/ук |2 |
абсолютно |
непрерывны от |
||||
носительно |
соответствующих |
функций Рк = |
Е | P,-.vfc |2, |
||||
t0< t < T , |
и, следовательно, |
структурная |
функция |
||||
С(У) = Е|Л //12, |
|
|
|
|
|
|
|
|
<?(*)= 2 |
G*(/), |
t0< i < |
Т, |
|
||
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
абсолютно |
непрерывна относительно |
функции |
|||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
^ * ( 0 = 2 |
o\Fk(t), |
t0 < t < T , |
(2.3) |
|||
|
|
/ г = |
i |
|
|
|
|
где постоянные |
а,, |
о2, . .. выбраны |
так, чтобы схо- |
||||
дился ряд |
м |
|
(очевидно, F* (t) = Е | |
Р,х* |2 при |
|||
|
|
||||||
мV
х* = 2 акхкJ . Мы видим, что все возможные «струк
турные типы» dG (/) абсолютно непрерывны относи тельно некоторого максимального структурного типа dF' (/).
Пусть Я — некоторое подпространство, ннва- р и а н т и о е по отношению к семейству проекционных
операторов Pf, |
t0< t < T . Назовем элемент |
х е Я |
максимальным |
в Я, если для любого г / е Я |
струк |
