ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 194
Скачиваний: 0
§ % |
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ |
109 |
ном в R подпространстве R всех линейных ком бинаций вида .v = 2 cfce&- При этом
со оо
[ J 2 |
\{b(s, |
t)ek, ey}|2d s * = |
||||
— 00 — со |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
00 |
|
|
|
= |
- J |
f |
J |
I (Ms, ^)еь |
ey}|2rfsc?^ = |
|
|
k , / — OO |
— oo |
|
|
|
|
|
|
|
CO |
oo |
|
|
= |
4n2 ^ |
[ |
J |
|{ф(Я, |
ц)еь e,}\2d ld p = |
|
|
|
k , I |
— OO |
- o o |
|
|
|
|
OO 00 |
|
|
||
= 4л2 |
f |
J |
5 ]|{ ф (Я, |
\i)ek, e ^ f d l d p ^ |
||
|
|
—OO—00 |
k, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
OO |
00 |
|
|
|
|
= |
4я2 | |
J |ф(Я, p)|2 dX dp < oo, |
откуда видно, что
t)ek, e,}\2< oo п. в.,
ft. /
и следовательно, билинейный функционал {6(s, t)x, у} задается некоторым оператором b(s, t) типа Гиль берта— Шмидта (в пространстве R). Как оператор ная функция b(s, t) принадлежит функциональному пространству L2(R X R )-
ОО 00 оо оо
J J \b(s, Ol2 d sd t = 4n2 [ |
J |
|ф(А., ц)|2 d% dp < |
oo. |
|
—OO —OO |
—OO —00 |
(2.13) |
||
|
|
|
||
Операторную |
функцию b(s, |
t), |
— oo < s, t < oo, |
мы |
и называем преобразованием Фурье от ф(А, ц ) е |
|
|
<=L2(R X R ). |
, |
ч |
В свою очередь, операторная функция |
ф(А, ц) |
|
может быть получена из операторной |
функции |
|
п о ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
b(s, t ) ^ L 2(R X R ) с |
помощью |
обратного |
преобра- |
зования Фурье: |
|
|
|
с о |
с о |
|
|
<р(А, ц) = 4 л2 |
Г ем |
b{s , t)dsdt, |
(2.14) |
— оо < А, (.1 < оо.
Используя хорошо известные свойства преобразова ния Фурье скалярных функции, легко убедиться, например, что если для некоторого натурального а
о о |
о о |
|
|
|
J |
J |
( 1 + А . 2 ) я ( 1 + ц Т | ф ( А , |
ц ) Р ^ ф |
< |
то операторная |
функция |
b(s, |
t) имеет все (слабые), |
|||||||
производные до |
порядка п — 1 |
по каждому перемен |
||||||||
ному, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
fik+m |
|
t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
b(s, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d skdtm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(— i%)k (ip)"1e~l |
ф (a, p) dX dp, |
||||||
и, более |
того, функция |
|
|
g2tn-l) |
|
t) ao- |
||||
c(s, t) — —— ,——rb(s, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dsn |
dt |
|
|
солютно |
непрерывна |
относительно лебеговой |
меры |
|||||||
d sX d t |
в |
том |
смысле, |
что |
аддитивная |
функция |
||||
множеств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m (Д) = |
с (s2, t2) — с (s2, t,) — с (s„ to) + с (sb ti), |
|||||||||
|
|
|
Д = |
(S |, |
So] X ( ^ l . to], |
|
|
|
||
представима в виде интеграла |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
S j |
f 3 |
|
Э2п |
|
|
|
|
|
|
т ( Д ) = = | |
^ |
|
|
ds dt |
|
|
||
|
|
---7Г~ТГ t>(s, t) |
|
|
||||||
|
|
|
S\ |
tx |
ds' dtn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
от функции, которую |
мы обозначили |
d~!l |
b |
(s, t), |
||||||
------- |
||||||||||
ds dt
являющейся преобразованием Фурье операторной
§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 111
функции ф (Я, |
д) = (— /Я") (г'д)'1ф (Я, д) е |
L2 (R X |
R) и> |
|||||||
следовательно, удовлетворяющей условию |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
b{s, t) |
ds dt < |
оо. |
|
(2 . 16) |
|
|
|
|
|
dsndt' |
|
|
|
|
|
|
С |
другой |
стороны, |
если |
операторная |
функция |
|||||
b (s, |
t), |
скажем, |
является |
ф и и и т и о й : |
b (s, |
t) = О |
||||
вне |
некоторого |
квадрата |
t0 < |
s; t < Т и имеет про- |
||||||
изводную д~л „ |
b (s, (), |
удовлетворяющую |
условию |
|||||||
|
|
as |
at |
|
|
|
|
|
|
|
(2.16), |
т. е. |
f " |
-ft(s, |
t)<=L2{R X R ), |
то |
все |
млад |
|||
ds dt
шие производные (включая саму функцию b{s, t)) также принадлежат пространству L2(R X R )- На пример,
тт
|
d2k |
b(s, t) |
ds dt |
|
|
dskdtk |
|
||
^0 |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
||
|
|
< ( Г — toY{,l- k) |
d2n b(s, t) ds dt. |
|
|
|
|
ta |
dsndtn |
|
|
|
to |
|
При этом обратные преобразования Фурье оператор-
|
д2п |
|
^связаны |
равенством |
|
ных функций — -——b{s, t) и b(s, |
|||||
|
ds |
dt |
|
|
|
|
ф (Я, |
д) = |
(— iKf (г»'1ф (Я, д), |
|
|
которое |
получается, |
как и для |
скалярных функций, |
||
с помощью повторного интегрирования и |
интегриро |
||||
вания по частям |
тождества |
|
|
||
(г'Я)- '1(— /д)- '1ф (Я, д) = |
|
|
|||
со |
со |
|
|
|
|
— О? — 00
112 |
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. IV |
Таким образом, операторная функция ф(А, ц), опре деленная формулой (2.14), удовлетворяет условию
I 1 )2п р, |2п | Ф (А, р.) |2 d \ rfp =
—ОО —00
=[ |Ф(Я, p)|2rfArf(f .i < оо, (2.15')
—со — со
азначит, н условию (2.15).
Взаключение приведем еще один простой факт, касающийся операторных функций ф(А,, р ) е L2(Ry(R).
Именно, пусть измеримые |
операторные функции |
||||
и |
|
— оо < А< оо, в пространстве R удовлетво |
|||
ряют условию |
|
|
|||
|
|
0 0 |
|
с о |
|
|
|
1 |
||aJ2rfA<oo, |
[ llpjPdACoo. |
|
Тогда произведение р^ф (А, ц) ад |
также принадлежит |
||||
пространству |
L2(R~XR), и |
для |
всех х, y ^ R |
||
ОО |
( |
ОО |
|
|
|
J |
I |
J ф(Л. |
fay |
|dA = |
|
— ОО |
V |
— ОО |
|
|
|
=j J {Р1ф (А., ц)% л:, у) dXd\i. (2.17)
—оо — оо
2.Общие условия эквивалентности. Как было отмечено, для стационарных процессов | (t) и т](/) со
спектральными плотностями |
и |
gk (в гильбертовом |
|||||
пространстве |
R) эквивалентность |
на |
интервале tQ< |
||||
< t < |
Т означает, что определенный |
соотношением |
|||||
(2.3). |
оператор |
А из |
пространства Н (g) |
в простран |
|||
ство |
Я (/) является |
ограниченным |
и |
обратимым, |
|||
а разность / — А*А является оператором Гильберта — Шмидта в Н (g). Уточним, что оператор А:
Аи (А) = f'ftx (А), —оо < А< оо,