Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

Сравнивал

индексы

оператора ВЭДна

оооедних

интервалах,

начи­

ная

о того, которому принадлежит \

, получим

равенство

1п,с1Ь0

В., » что

й требовалось донавать,

Баметйм,

что

Операторы В в и В^

» удовлетворяющие

условиям

теоремы ^ 4

Ю ,

навываютоя £омбтЬпныци. В §

15

будет приведен

при­

мер

приложения

теоремы

4*10.

Полное описание всех допустимых возмущений

иетерова

оператора

дает

ояедующая

Теорема

5+Ю,

Пуоть

-

оператор

нетера и

В ^

{ E - i

* Ej_^

4 ДЛЯ того» чтобы операторА+В был операто­

ром

Нетера,

имеющий Тот

же

индекс,

что й Д

,

Необходимо

я

доста­

точно» чтобы ол был представим £ вида

или

а)

А + В

=

Щ

+

(Ю . 5)

б)

А + &

-

"

М

где

обратимые &ператоры»1^,-Н^- вполне Непрерывные

(вонечноиерние)»

ДОКаёаФвЛвйтао. Достаточность вытекает йе теорем

1.9

и

1.10.

Необходимость!

так

май А 4 В Й А

-

операторы

Нетера,

то

по

-

53 -

Следовательно,

по теореме

Никольского

• W A + & ) = u ; + f t ; ( A + B ) i i = u J L +

5 S ; ,

( I 0 . 6 )

где 1^

^ [ Е< ~> ВД

, UJL^

ЕЦ]~

обратимые операторы, а

£ { Е4 ~^

}

j ^ R . ^ { Е ^ Е ^ -

конечномерные.

А

Применяя к

первому

из

равенств

(IU . 6 )

оператор

слева,

а ко второму - оправа, получим

(1+1С*)СА+

A i X i

,

( 1 0 . 7 )

( A t & ) ( i +

U ' ) - i r t

A + - ^ A .

Иа первого

ооотношения

(10»?)

получаем

первую формулу (10.5).

Иа второго Ооотношения (10,7) следует второе равенатвО

(10.Ь).

Теорема

доказана.

^

Следствие d . Пусть

A

. A

£

{ Е4 " i 1 £ ^

-

операторы

Нетера,

имеющие

одинаковый

индекс*

Тогда

где

имеют тот же смысл», что и выше.

Следствие 2*

Пуоть

Л* t { Е Ё

} ? Л

^ ( Е Е

} -

операторы Нетера.

Тогда

справедлива

формула

'

конечномерные

операторы,

,

-

обратимые

операторы.

Доказательство

вытекает из следствия

i

и того, что Операторы

\

являются

операторами Нетера,

имеющими один

и 'ют же индекс.

( Х> " г л адкий, простой,

замкнутый контур}

Q ( t )

, ECt) -

заданные

функции,

удовлетворяющие условию

( X й ( t ) — ^

( t ) ^ O ) .

В зависимости от коэффициентов Q ( t ) n B ( t )

индекс

К-

опе­

ратора

может быть положительным, нулевым или отрицатель­

ным,

а

Д,-характеристика этого оператора может иметь лишь

три

формы:

1)

{Ъ€ , 0 )

-

в случае } £ > О

,

2)

(О , О)

-

В случае Х = Ф ,

8)

( 0 ? - Н )

~ в олучае Х < О •

Многие вопросы теории сингулярных уравнений с ядром Коши

решавтоя

при помощи

выделения из полного сингулярного оператора

на случай

произвольного

оператора Нетера

В .

Пуоть

ind В

~ # ( - r | i ^ G .

Покажем, что оператор

где

- конечномерный оператор,

а оператор Нетера 13

имеет

(j -. характеристику вида ( 0 } - " > 1 ) .

Воспользуемся конструкцией из

леммы Шмидта

В Х = В Х Г Y. U X )

^

- . ( И . 2 )

Ясно, что индекс

оператора

^

равен

УС

, так как ^>

отличается

от В

на конечномерный оператор. Мы покажем, что

оператор В

н е

имеет других нулей, кроме тривиального. Отсюда

будет следовать,

что его

cl -

характеристика

имеет вид

( О ^ - Х . ) . Таким

обравом,

иа ( I I . 2 ) получим представление (11.1)

'от К = 1

до к

=

$ J3 по числу

функционалов

^ к

. Число

элементов

2 К

равно

^>7/ <А

^следовательно,

влементов % к

хватит для образования

суммы

*^

^ к ( X )

•

Пусть ССо ~ какое-либо

решение уравнения

Е ) Х = 0 . Так

как В Х 0 ^

В

, т о

t j C B X . b O j j ^ V - ' P -

Учитывая

это, положим в (11.2) 1 = З С а

и применим к обеим час­

тям полученного равенства функционалы ц«

. В результате

получим

Ы. •

3

-

Отсюда, ограничиваясь

значениями ^

И учитывая

равенства

£ j C H : K ) c C y

,

получаем

£ к

( Х о ) = О для

К = Н , 8 , .

Это означает, что Х о

является

решением уравнения

5 x ^ 0 ,

т . е . Х о ^ ^ ^ С к Х ^

.

Из равенств

£ к

( Х „ ) -

О

вытекает,

что все

- О

,

т . е . Х 0

-

О

» 4

1 0 и

требо­

валось доказать.