Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

чпя любого функционала

£

,

удовлетворяющего сопряженному

уравнению

й

В ? = 0 .

(5.2)

Пусть уоловие

( 5 > для некоторого

'lj 6

f

^

выполнено, но

i j £ jfhiB. Построим

функционал ^

такой,что

он на взятом

элементе

обращается в £,

а ка

'Зш В

всюду

равен

нулю.

Такой функционал

По теореме

BE

Существует, ибо 'tj

, не

принадлежа замкнутому

множеотиу

В

» находитой

От него на

положительном

расстоянии. ЙтаК^

^ ( В ^ ) ^ О

для

всех Х £ El

• Из' равенства

ц ( В ^ )

= О

пледует, Что

( В * 4 ) ( Х ) = 0 для йоек £

» а вначйт

6 С = 0

,

* . е . £

удовлетворяет

сопряженной?

уравнений. Но Ц (М)-

О

йля всех

функционалов

ц

,

удовлетворяющих

оонрйиейойу

уравнению,

что противоречит

й.оотроенйи

^

t

ш как

i f , ^ ) * *

1 .

Необходимость. Иувшь Ьпера*ор

р

йорийЛьнй

рйвреаия. «окажем,

что ыйОЖейтво-

^ H t f t

3aHRHyiOe» HyttSii

^ f l , ^

тан как уравнения1

В ^ ^ ' У к

^ р ё и й Ш

( 2 t ^ X H ) «

и»

(^к.) = 0

Яяй see* йв|ектйИ*

МЩ№Ш№*

£)к

> Йервходя

к пределу при ilHUSd

Й йййойвёуй

Ш р в Щ Ш В т в фуйнЦйоналЬй ^ г < ,

получий

^ к ( ^ ) с О

i

a 8*0fd

ЛЬо1тй1в^ЙЙ Ш раврёйимости

урав­

нений В х

-

• СлеДЬваФёлШ» 4 |

принадлежит

В

,

а

значит, множество Dm D

зШкйутоё|

Что й трёбЬвалооь

доказать.

§ 6,

Фактор-проотранотва ^yj^g ) ^ ^ / ^ У м В .

Новое

определение индекоа*

Пуоть

и Е ^ -

линейные, не обявательно банаховы npocf

ратор

3

» действующий ив Е ^

в

Е ^ « Ядром

I c e t B оператора

В ,

как и выше,

будем

называть

множеотво

решений

однородного

уравнения

В х = 0 . Очевидно, [ с в т В

- подйроотранство прост­

ранства В

^

.

/

Рассмотрим

фактор-пространство

Е ^ А е т В

» Его

элементами

будут

классы [ х ] ,

состоящие ив элементов простран­

ства

Е4 f сравнимых ло модулую &ВТ В i

Х 4

a X ^ C H i o o L f c e x B ^ ) ,

Это овначает,что

элементы Х ^ б El и

Е^

тогда и только

тогда

принадлежат

одному и тому ае клаооу

(ЭСЗ i

когда

3 ^ ~ X t £

кв/ХВ. Элементы

фактор-проотранотва

кегВ имеют вид

Чналомним.что в пространстве

сходимость не вводилась,

оледователъно,

Е ^ С Е-$

будет подпространством, если

выполнено уоловие.

Х < - к Х д Х ^

д л я произвольных

элементов ЗС^ , Х^ £ - Е^ и

произвольных постоянных величин

и

°^%.* в

олучае банахова пространства при определении

LXl

=

х - Д ' е г В

}

осе

Е4 .

( 6 .i)

Рассмотрим

обраэ

В

оператора

В

, т . е .

множеотво

элементов ^

пространства

Е^ ,

представиыых в

в и д е ^ = 6 ^ .

Отображение

пространства

Е|

на

'Jm

В

,

осуществляемое

опе­

ратором

В

в очевидно,

не

будет

взаимно

однозначно, если

k e t

В

не пуото. Одначо."отягивая"

пространство

по моду­

лю k i t В_»

i.e_.

отождествляя

элементы

втого

пространства,

р а з ­

личающиеся элементами

ядра, мы получим

иаоморфиаы

(взаимно-

одновначное

отображение)

(^актор-пространотва

Ej\ ^ке-Ъ&

и

П Р ° "

отранотва 1 т

В ,

Расоиотрим

подробно

ВТОТ

изоморфизм

в

случае,

когда

В

-

оператор Нетера. Ядро

В

в этом

случае

-

конечномерное

подпрост

ранотво

Е \

•

Элементы

[ X j

фактор-пространства

можно представить

в

виде

[xj= X ffeexB* где ;£ ^_£<*>-°<

^

причем

различным элементам Э С ^ Х ^ ^

£

отвечают

различные

классы

[Х^З

и

С^СгЛ

•

Таким образом устанавливается взаимно­

однозначное

соответствие

S

между

элементами пространств

Е<

«

^ Д е - г В •

т ^ е -

ЕГ*

° <

=

S

(

Ё ^ Д е г В ) .

Учтем,

что оператор

В

(ом. §

8)

устанавливает

изоморфизм

пространств

Eiy/fce^g,

и

E J t - d

i }

/ J m D

» элементами

которого

будут клаосы

^ Через

В обозначено

замыкание

множества

З т В -

чиоло дефектных функционалов

оператора

. Ясно,что

индекс,

понимаемый в новом

омыоДе,оовпадает о индексом,введенным в § I .

Среди операторов о незамкнутым образом следует выделить,

ввиду его важности,

ш.аоо

операторов

о конечной

d-

характерис­

тикой

где,как

и раньше,

sudlwIte/iB »

а

^>(В) определяется

формулой

(6.2),приЧбм

С<($)<

Ь*3 ? ^ ( В ) < °°

Теорема 1,6. Пусть

E ^ E j L =

f

^ В ^ В " ^ }

, еоли

с о

Доказательство. Докажем

оначала»Чтб

множество

j С

функционалов,равных

нули на замыкании

образа

оператораВ>,

совпадает о ядром оператора_}3 < сопряженного о Е> .

Пусть

I f f . ' *

о

,тогда

^ k t t B * i « . « .

и, следовательно, |

(6Х - ) - О для УЗС^Е4ИЯИ

^(ЗтВ)= С К

Учитывая непрерывность функционалй 4- t йойучим

т . е . {.fc

.Пуо.ть

теперь

^t - Q^J^g

«*огда

= О и *8М более

f ( В х > Оя

М

V ± t

Е

.Отовда

эанлйчаем.что

.Итак,

Учтем теперь,что

число

jfHft) =

d l H i

конечно.

Это дает возможность

(см. Б X ) представить

пространство Ь.

в

виде прямой суммы