Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
59
Последняя формула очевидна-с С = i
Введем аналоги классов К О ( г п , р ) и ^C(.QJ M,i MJ ] fj) для пространств Н^1
Дпределате 12. ино.тество ((ункционапоп
[ |
U K , lot Ч.Г |
нааовёи ьвалифицированно опгимглыгым по порядку )пд прост
ранством Н * 5 если существуют |
не зависящие |
от^ l i t Я |
lOeUT постоянная С и Функция |
ЧЧтО.тикие, |
что |
<f(/c)—- О при |
Г — О |
|
I |
! |
г |
* сV (M)II etwlfsfJ- |
|
для всех |
LeH |
ж |
и з е Ш . |
|
Такое множество обозначим К О |
О4'^) |
|||
Заметим, что |
|
|
||
и
( Г -U 7 >
L t e l l ^ Ч |
Z M K V O I ^ 2 |
( 2 Л ' 8 ) |
|||||
Определение |
13. |
Пусть |
Pt.Fz е |
ГГ^СМ|.^г) и ' |
K n c * < e т ° г о , |
||
|
t |
[ n i t a l ^ C r t l / m i n J ^ C O l l = 0 |
C a 4 - S ) |
||||
|
D ' H|.t |
' |
l$l=t |
J |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Назовём классом |
об С^-эf*ii<0 |
множество функциона |
|||||
лов типа функционалов погрешностей - |
СО.2.11),(0.2.10), |
||||||
удовлетворяюдих условиям определения |
9 с заменой формулы |
||||||
( 1 . 3 . 1 1 ) |
на |
|
V |
|
|
|
|
( С |
с |
4 |
и |
к " |
П КОСМП |
|
|
Леша 12. Если
6 0
М 5 ) , М ? ) & ПгСм^М, ) , , |
( 2 . 1 . 1 1 ) |
то |
|
|
|
' |
|
|
|
' $ 0 * ^ ^ , 2 ) С |
|
( 2 . 1 . 1 2 ) |
|
|
Докааательство. Нам не достает только оценки |
|
|||
|
II e f c o i f f f i - j . 6 с 1Фп1&)1[»п- |
( 2 Л Л Э ) |
|||
для |
(О = т (и, ,Ма) н |
00 е ft САм ьм*,2) • |
|||
Она легко следует ка леммы 11 . |
|
|
|||
|
Пусть |
£«, - |
коэффициенты Фурье функционала |
^ А _ С * 0 |
|
l f e | r |
\ r |
= Z.U.I>W>i« .* |
|
||
< c2 Mii K w i f e r .
Установим теперь основной результат этсй главы.
то |
{ ^<v.Cx)l ЯеЗ€. ~~ асимптотически оптимален |
|||
над пространством |
Н а ( Л ) |
|
|
|
Доюзательство. Отметим, чти |
|
|
||
Для краткости |
обозначим +С0 = II ££6*0ll н/'* . |
|
||
идея доказательства |
заключается в том, |
ччч/бн показать |
|
|
|| 1*(х)- С |
Ос)!н ~* = о (+00) |
и к - О |
(2.1.14) |
|
и-. |
* i : |
Pt |
^ .проектор u плдьоертовом |
пространстве |
H2" |
||
>и |
подпространство элементов |
вида |
^ а ^ ^ х - к А . ) |
с про |
|||
извольными |
коэф1>ицчентам.., Q K |
( |
К-Фиксировано). Тогда" опти |
||||
мальный Функ^онал norpeaHixTe |
над Н*(Я) — •[ L°' |
{(.-ц |
|||||
можно |
записать в виде |
|
|
|
|
||
|
|
^ ' 0 0 = /д - О) - Р , д / л О О |
|
|
|||
« t ( * ) - |
= A W - ^ Z С к ^ ( х - к к ) - У . . . М + В д * о № |
||||||
|
|
|
|
к К с л |
|
|
|
вдесь воспользуемся равенством (1.3.10 ) «пределения
Пусть £ ^ — проектор в |
на подпространство |
|
||
элементов вида |
21 а* б- ("х-к А.-) |
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.16/ |
с произвольным |
QJ |
|
• |
|
Оптимальный для области Q |
функционал , |
С*0 |
ва |
|
ли сываетс я так |
|
|
|
|
pO,q |
|
|
|
|
- e f t * = - г z s c * - k « + Я Л « = Ра к |
|
|
||
" |
Xk«<3 |
|
|
|
Обратимся теперь к слагаемы! правой части неравенства |
(2.1.15) |
|||
62
Заметим, что |
{Эл |
= ра PiK |
r |
|
|
|
|
|
|
= 1 Я к Р з Л и « / / н г ' ^ / ( Р , , а с 4 и 7 - |
U l ^ - f T c ^ |
||||||||
В гильбертовой |
пространстве |
|
H 2 |
|
(х) |
есть перпен |
|||
дикуляр, из точки |
У д Сх . ) |
на подпр»отрвнотв» ( 2 . 1 . 1 6 ) , а |
|||||||
£{_(х) - одна из наклонных из этой же |
точки |
^ ( ж 4 ) |
на это |
||||||
же подпространство. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
г |
|
г- |
|
|
г |
|
Правая часть этого равенства есть |
о (JI £(.(х)||н'/г) = о (j-f('O) |
||||||||
в силу асимптотической оптимальности |
{ |
k« |
над |
||||||
пространством |
н г |
(доказано |
в [ 2 9 ] , см. также лемму 5 ) . |
||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = o ( 4 ' ( k ) ) |
|
при |
/v - O |
|
(2.1.17) |
||
Я = / / Я л |
^ ) % |
* / U r b % |
« с| /г1 |\((о*оСр(кд=(2 .1 .,8 ) |
||||||
Пусть |
Д |
- |
проектор в |
И*" |
не подпространство функ |
||||
ционалов, сосредоточенных в SI. Ясно |
Я = |
Ял |
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
• = * U P |
C M , K * ) » I / I K * ) I I K > ] |
