Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
cfaecb |
P& * - сопряженный к |
P3 |
оператор-это тоже проектор, |
|||||
|
|
|
|
|
иг |
|
|
|
который действует в пространстве |
Н2 . |
|
|
|
||||
Докажем, что |
Р* |
проектирует |
на |
Н£С&) |
|
|||
Область значения |
J2p» |
проекционного оператора |
Р* |
есть |
||||
поД|Тространство в Н£ |
.Пусть |
<= ^Р* |
|
|
|
|||
&ачит, |
^ ( х ) = Р^Н^^ФьЯг |
Ё с в ь и |
ё и Функционал" |
о"(*-;у) с |
|
|||
у е Л : |
|
|
|
|
' |
|
|
|
= < s " C * - a ) , ( i - P r ) i w > = < ( i - P 4 H ( x - a ) . K » ) > = о , |
|
|||||||
Нроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и.еслн |
*,С«)| Д |
~$.(х>|д |
|
,то для |
V£(x)c-[H/V |
|
||
< ^ > P i " | 1 ( x ) - P 4 \ ( x ) > = < Ц * ( * ) . М * > - * . ( * > > = 0 , |
|
|||||||
Всё |
вто вместе и означает,что |
Р ^ К * ) |
|
|
||||
есть функция из |
Й£ |
, совпадащая |
с j-Оч) в JT |
и имеющая |
||||
минимальную |
-норму |
среди всех функций, совпадающих в Л |
||||||
с £(х).Это позволяет отождествить ранее определенное простран
ство Н*(Л) с £р« ,взаимно однозначно сопоставив |
каждой 'функции |
|||
заданной в Л. ,её минимальное продолжение, в Н2 . |
||||
мы рассмотрим сейчас на периодических |
функциях |
ив hfjf |
||
псевдодифференциалььый оператор |/*(D)|a |
.действующий по пра- |
|||
в и л у |
| м в ) Г - |
П К О Г Г : |
fa-fcT. |
|
Здесь |
J означает |
оператор преобразования фурье на периоди |
||
ческих |
обобщенных функциях |
|
|
|
V
Покажем, что для всякой g (к.) е Н£(&)
|
|
|
I K ^ l V ^ U v f l = 0 |
|
' |
|
( 2 Л . 1 У ) |
||||
Действительно,если |
Supp £СОП Q c Q \ H |
, ^ ( х ) е ' Н ^ |
|
||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(скалярное |
произведение в |
обозначим [' |
, '1 |
) |
|
||||||
= < £ ( х > , Н * 5 ( х ) > = < Р г £ ( х ) , г ; с * > - = о . |
|
|
|||||||||
Итак,выполняется (2.1.19)-однородное псевдодифференциальное |
|
||||||||||
уравнение в |
области |
Q \ i l . |
|
|
|
|
|
||||
|
Леша |
13 |
.Пусть |
JK £5) — комплекснозначная непрерывная |
|
||||||
функция действительных, переменных |
\ - |
|
|
е /2^ |
|
||||||
Пусть вне некоторого пвра,то-есть для |
|у | > С' /(^бесконечно |
|
|||||||||
дифференцируема,а для любьк °l ~ ( H i r - Н О , |
°{/= 0(*> |
|
|||||||||
с некоторыми постоянными |
Cd. выполняются оценки |
|
|
||||||||
р>о |
и |
р |
|
не зависят ото*.. |
|
|
|
|
|
||
|
Обраэуш псевдодифференциальный |
оператор |
|
|
|||||||
где F |
и F |
|
операторы прямого и обратного |
пьробразований |
|
||||||
(Еурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор |
|/с(В)|г топоэллиптический и неравенства |
, |
||||||||
выполняются для любых областей и) |
' |
компакта К |
.лежащего |
|
|||||||
в |
Ю |
( , P ( K , R ' 1 \ I D ) > O ) |
.индекса |
oi = ( « ( , , . . . ^ О , " ^ о,/,... |
|
||||||
и пункции |
и ( х ) .удовлетворяющей уравнению |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
Постоянная-С |
ме' IUUKCI'IT |
от |
|
|
|
||||
Докпаателистьр. см D [if>ij ,стр.У22-3<1 1 |
|
|
|||||||
(и приведенной ссылке доказшы болей сильные результаты, |
|||||||||
чей записано и леиио) |
|
|
|
|
|
|
|||
пз приведенной наш! леммы следует : |
е с л и |
|
|
||||||
|
? ( ^ ) е С Г и |
|
р(^ор^(х)ъЛ) |
^ < у > о , |
|
(2.1.20 |
|||
гл. -целое число,то для любого |
решения сц[х)одлородного |
урав- * |
|||||||
Heiiiifl |
(2 . 1 . (9 ) есть |
оценка |
|
|
|
|
|||
^ I J ^ ^ ^ Z J * * |
C C * W |
H N l a c f t ) |
( 2 . 1 . 2 |
||||||
Мы применим |
( |
2.1.2&m=M |
и к-кии-нибудь функцией |
|
|||||
ооращапдейсл и |
1 |
на |
£^с*) и |
удовлегворипцей |
условиям |
|
|||
( 2 . 1 . 2 1 , с 5-х £Д |
|
|
• |
|
|
|
|||
А именно,подставим |
в |
( - 2 . 1 . ^ вместо |
Pt К * ) |
5 (*-) |
Р4 Я*-) — |
||||
это ничего не меняет,TL.K |
как |
на носителе |
£ " ' М |
|
|||||
Продолжим оценку |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ш <. Sup /Г1<^Ы.^Х)РЛМ>|| |
|
|
|||||||
, |
J I ^ P / k ^ / I n f |
|
К о о р/к*> II |
) |
|
||||
супремум произведения 1лленим на произведение супремумов.
Тогда первый .^сомнолитсль (взятый в квадратные скооки)
не превосходит |
Ц £"'(х)|_гй£1 ]* , |
|
а ».о |
оценивается |
но свойству ( 2 . 1 . 8 ) , ( 2 . 1 . 9 ) cJep«y 4«/>ej o(>f(/o) |
v Второй |
со»«и*итель |
|
66
ограничен по сьокст^у (2.1.11)
Итак,
|
|
|
H M t H * 1 |
|
II f O o l l ^ |
|
|||
* |
C ( e ) o ( t W ) |
&чр |
— |
- |
- |
i |
|||
|
|
|
|
JU>* |
н" |
•IliOollftf |
|
||
5 C ( £ |
) o C W ) ) |
S 4 p |
|
_ |
|
_ |
a |
||
= |
C( £ |
) |
о (+(«.)).- |
|
|
|
|
• |
|
Соединяя все |
чтении илхееи, |
|
|
|
|
||||
i + 1 + щ 6 |
|
о-онЦ) |
+ с |
t 1 ' + а > |
+ с с о • » o w ) =• |
||||
|
- C * ( V ) j V 4 |
+ c ' C O o ( i ) ] = о ( ^ ( 0 ) . |
|||||||
при к-"О .Теорема |
4 доказана. |
|
|
|
|||||
Из доказанной теоремы получают^* n^wuTue достаточные усло |
|||||||||
вия асимптотической |
оптимальности над |
И* |
пространствами |
||||||
Следствие |
1. Если |
|
|
|
|
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ ^М^^аашптотически |
иптш&лен |
нац |
f^a Ср-} |
||||||
Ълй |
jit е ГТс (М,,Мг). |
' |
. |
• |
|
|
|||
Следствие |
2. Если |
|
> |
• |
|
. |
|||
то |
асимптотически ошиыален над |
6 ?
ДЛЯ
В частности ,мы получаем условия асимптотической опти мальности над Л^-прострачствами Соболева-Слободецкого. Ввиду важности шренно этого случая,сформулируем ево отдель но.
Следствие Э. Ьсли
то
{ ^ S ^ l j ^ * асимптотически оптимален над при любом гп & r M , , M j .
Если
то |
|
|
|
|
|
|
^асимптотически оптимален над |
W^D.) |
при люиом |
||||
Сформулируем результат |
об асимптотической |
оптимальности |
||||
функционалов |
Соболева. |
|
|
|
|
|
Для \</1',,(Л)-пространств втот результат перекрывается с |
||||||
известными раньше. |
|
|
|
|
||
А именно,при целых « . |
он,по-существу,полечен |
С.Л.Собо |
||||
левым Q9.12] |
или в других |
эквивалентные нормировках |
Ц.Б. |
|||
UiouHSjpoiibii [ з г ^ В Л . Половин киньм [ml |
.При дробных |
m он |
||||
был анонсирован в |
оаметка.. [ 2 7 ] .однако условия сфиршулири- |
|||||
Baiiiax там теорем при^шоречиви. |
|
|
|
|||
^ледстБ..е 4 . |
s^yH.vUMo..<^nu,nui;THoerM.He по способу С Л . |
|||||
Coo<Meaa5i<£}c условием ортогональности многочленам до |
||||||
степени И ^ишчнтельно,асимптотически |
оптимальны над прост- |
|||||