Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

над

Wa^Q.) при любом м £ (^±1 ,м).

§ 2,2. Вычисление нормы оптимального фупшионала.

В этом параграфе мы вычислим главный член (при

(и—о )

нормы функционала погрешности, оптимального ^ад

Н*С&)

прсс транствеы.

Лемма 14. Рассмотрим две области со' и О)",

кусочно

1-гладкие,лежащие в куое Q .

Пусть

сй'соУ.Если

I C t o f e j * *

' ^ М й Г Г

^ + °

«P« ^ ° (2,2,8)

Доказательство.

Пусть

( J $ f + l )

•

По лемме 12

{ t^(x.)}klX

е % (?J3p

^г2~)

.Поэтому найдётся &>о

такое,что для любого Ь е ф , ^

осуществляется указанное в

определении

&Си'->Р

, 2 )

laiacca

разбиение

> I И*-)!fнv>J* - [l

fi&ltfV8*+

' ^bc)Jf ffvrJ * "

» I I ' < ? W | f ( ? w -

fc^Uic*vr

+ |«й«)1гн w ] .

Пусть

f t (ai) 6 СГ , SO*) = 1 6 « Л

,

5 6 0 - ' О

в

{acj J>

< |-_ j .

Такое.$ 0*)'можно

поставить в

предыду­

щем выражении множителем перед Ри'

. в скалярном произ­

ведении, не изменив его.Пусть это

сделано.Продолжим оценку

I 4 3 U P '—;—

;

• Sup

Первый множитель ж

превосходит

••)торой множитель >а оыгу леимы 13 не превосходит

С (£).

Таким образом,квадратная скобка в

(2.2.9) оценивается

сверху

через

что к требовалось

доказать.

Пусть дана область

и)

.кусочно

1-гладкая,лежащая

строго

внутри Q

,то-есть

р ( и з ,

R.\Q) > о .

(2.2.10)

Для оптимального

нцц

Н г (ю) гцункционала погрешности

{ С

С*)]к«зе

(2.2.11)

главный член (при

к.—о

)его нормы будет по определены

тот же,что и у любого асимптотически оптимвльншо функцио­

нала

R « k . * ,

( 2 - 2 Л 2 )

Согласно доказанным в предыдущем параграфе фактам мы

можем взять

в кчаестве

(2.2.12) любой элемент класса Х(КМ <.М »$

-считая

К О

6= ГП:(м,,мх ). .

•

(г.2.13)

А для подачёта нормы"

^ I * ' ( » J &

Й (•о,М,,И1|2)

мы заключим область w

между двумя областями Ш, и

по­

добрав их простой фермы и с условием

и\ с ш

,

5Гс шг

12.2.14)

форма областей w, и w 2

будет настолько простой,что мы