Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

^ , . . p

и

применим неравенство

I!

Г UJ,

. "I

Х

|| Z1 0 ,

\ ,*

.-„,

1 1 . 3 . 1 7 )

а потом правую часть

оценим по

(1 . 3 . 17) .

В любом слуяае

мы получили

(1.3.18)

. |

. i

где

можно положить

y^lwl) - |UJ| f

Н> с любым

^ .

Р 4 * ) ^ ^

Рассмотрим

Г6 = { х| f ч.х.,Л)< £. J \ Г2. u

u ) t

-

Q\Cr^U.fl) '!

для

всех

£. & ( о ,

Пока только сошлёмся на 4акт,

который докнгсы

позже

(деииа 10):

Оункщопалы, построенные по способу Сооолева^с услови-

ем ортогон;льности

многочлен^до

степени (Mj< 1) вклюяитель-

но,

для

либо»! оолисти

t o 4 4

0<£г=

£0

удовлетворяют

оцен­

ке

при любом

U - f . o

w ,

д - M t

t

m М

Постоянная

С

мо­

жет

оьггь взята независяще»

от

t

Известно такте, что эти функционалы Соболева,

точные

для

многочленов до

степени

( М ^ О -

будут

обладать

ослаб­

ление

регулярным

поггйшчиым слоем

£ С-пЛ-О

с

некото­

рыми

L ^ L j . равномерно

по

£..

.

Сейчас ш«хотнм .сформулировать утвер-едение о том, что

функционалы погрешностей, достроенные по способу С.Л.Собо­

лева

для множества

UT

областей со

будут

принадле­

жать

классу

ROCnijp). Однако-для 'точной формулировки

нам на-

до будет потребовать чтобы ооласти

былг. )^шнош (.но

гяаджыи. Поэтому сначала, иы подроокее

ооълишш .это уело-

ше

гладкости областей.

Напомним известное

понятие

ооласти

с_ кусочно

глиной

границей.

Определение 10.

Огрг--ничейная осесть

tO д

й а

обла­

дает

кусочно

Гц — гладкой

гуашцей, если

cvqecTbyeT конеч­

ное «ж сто открытых nu.poii

K j

=•

и

otrneiV-Hu'iaiu

кото­

рые содержится

cu

ьыесте

с грг>.' цей^

ш С U

К.

а ддя кщдого <*<ра

Kj

существует диМеомор^мзы

T j

клас­

са

С*\ отобрахагнма

Kj

на единмный шар

К'о

и переводя-

ннв u i f l K j

в

Ко

нш в пересечение

K D

с конечши числом,

( I I I I I M I ива! от j

^замкнутых иодупростраиств:

те>яаао6в&сть обладает

т.— гяадкой границе**.

ШцаСи понятие равномерно кусс*л!0 гладкого множества

Ддр'ДТГТ— ^ -

Множество

ЦТ областей ш назовём

ИЕОнхстаом равномерно (дуевязо)

га-гладких областей, есж

внадаа вонасть щ е Ш "

обнажает (кусочно) т . - л е д к с й

ц м ц п м a J H I I I •••*

в соответствии с определением 10 для

области

и)

дифГеоноргизцы

(ю)

имеют С*4

норма,

ограничение равномерно по

to 6

W.

Теперь дадин: краткое описание Функхронашв погреяиос­

теИ, построенных СЛ.Соболевым

[<ЗЦ}.

Р&тдому цеяоч1слеиному

вектору

к = (к,,-.-,*,_)^ к^ = o,t<,i^

сопоставим обдаатв

Функционал

£ ^ х )

зададим в виде

'

= Z * ( - i r 1 ) +

Z ^ ( - - Ю •

Здесь

) »

=

-

Z

О

К С 7 ( Х - К )

L

и

о*,

ке зависят от к.

и определится из усяовжя

ортогонапъ нолти:

многочленеы до степени М

вшлж

тельно:

j>(«b,t| 04 L'fc.

Числа

&К(Л*))

заверят от А.',

но

/-&к(01«В

ранномф-

но по

кчЖ,,и!

зависит от

s,

, во

!

если и)

кусочно 1 -\пвдмш,

то моек» выбра» L

не

аависязп* и

s , l i ;

а если W

множество равномерно жуесгаяо 1 -пвж-

(1.3.20)

них областей ш ? то дая в с е

t o t U T

рать

одно

(.

,

не зависящее от

Описанный

[ункционол

погрешности

-j ( ^ ч*')

| ^(

^

назовём )Ч1 -

функционалом Соболева. Известно,

что

эти

Функционалы обладагт ослайленко ре-гуляртад пограничным

слоем (в

f(S.i2]

они шзываются" функционалами с регулярным

погрничныи слоем

порядка

М 11

)

Лемма 10.

М - Функционалы Соболева (10), построенные

для множества

1хГ

равномерно

кусочно

1-гладких ооластей ш,

принадлетат

классу £ 0 ( » \ р ) д л я

1 * р < ^

и г* е (Jp ,м]

До^азательс 1-во леммы

10 будет дано в следуодем

пунк­

те (см. сip.

52.

)

А сейчас

сфор-у ируем и докажем основной pesyjbTai

отого параграфа, устанавливапций свявь меэду различные

свойствами функционалов noipeuuioc тей,

сформулированными

в данных выпе определениях.

Теорема 3.

Если Л—кусочно 1-гладкая область, то

Л 0(т,р)Л R 0 - . . O c П

^ ( Л . м . м , ^ )

• ( 1 - 3 - 2 ]

mefMX)

M i ' M i

Пусть |

0 0 Jdejf-- М-чу-кп/онал Соболева. Тогда в

силу кусочно 1-гладкости Л

для достаточно малого £„

множество

{llU

£ s (0,t^

состоит иг равномерно кусочно

1-гиадких

областей и по лемм*е 10