Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

и

№ ) 1 н *

=. Z

fl^-^fl~^°№)

( 2 - 2 Л 9 )

Действительно, распишем левые части

(2 .2.18),(2. 2 .19) через

скалярные произведения

в

H'-* о

заменой

(х)

и

£ £ С Х )

через

суммы функционалов

^^'(tc-bd.), оста­

ётся воспользрваться только что доказанным свойством ма­

лости скалярньк

произведений-различных

С*~

•

Заметим также,что нормы

-4.'^ Qx-%L')

не

зависят^

от

сдвигов аргументов,так что

Итак,

Но.очевидно, |Л, L.|'A

к

I i l ^ k j ^

стремятся

к одному пределу

при

к,-гО ,а средние члены на­

писанной выпе цепочки неравенств не зависят

от 1 ка .Так

что существует

для

W2 (ио) пространств

с нормами (0.1.4)

получим известные

при целых m [iS.il] формулы

u r ^ k ^ y

- м * &Т

( 1 - 9 - ) )

.

при

к -«- О.

§ £.3.Пример

-пространств

Соболева-Слободецкого

Ьолее детально

разбереём'один из

важных случаев

-

пространств-пространства

.

п°.2.3.1.Постановка общей задачи о решетчатых кубатурньк

формулах.

Изучая кубатурные формулы в пространств»

Н£

,неестес­

твенно ограничиваться только решётками вида

кк

(

icj =

0 . * i , t 2 . . . . )

(2 . 3 . 1)

Для примера обратимся к пространствам "с доминирующей

ггрои.^тлдаои",рассмотрензм в работах Н.Ы.Маробова [№],

И.М.СоболяГго2

Н.С.Сахваова

fca] ,

Е.Н£аи.гАа

и гильбертовом случае зто прос1ренства

Н*((2) с

>.

К * )

=

П С'/^/' + О " *

•

(2 . 3,2)

3 периодическом случае функционал погрешности

j ^ j f

является

асгалптотич. ски оптимальным на заданной рмаетке,

а норма этого функциямяя(ресе«|10ТренногЬ на решётке (2 . 3 . 1))

en '»

f

.

•

JttWltit*r

- C A * - C V " A . . .

::

(.2.3.3)

•

сдесь и далее

Л' -число узлов кубатурной формулы.

Сравнивая разные реиит;;-, естественно пчиатать

основным па-

раметром число

М

,стремящееся

к

.

Так и оудем делать.

Нввестна,полученная

Н.С.Вак&цоиым

оценка снизу

норм люоьк функционалов погрешности с произвольно распо­

ложенным^ не осязательно

на решетках)уздаш

,

^ С х ) | | с й г ^ .

>

CH'nCUMfk.

(2.3.4)

Мы видим,что

при испольоовании

простейшей решётки

(i:.3.1)

даже иптимальный на ней функционал riOipuimocTw имеет

порядок гораздо худший правок части оценки

(<i.3..).

В то же время на предложенных

Н.;л. дробовым [ю]

па-

раллелепипеда^ьиък

^е^ка х

A ^ K / J V ^

(2.о.5)

( At-некоторая

постоянная по к. матрица для формулы пря-

MoyiO-.Ь.ЛКОВ

дОСТИлИМ ПОрЯлОК

К И

*) I я*1 = О С*'"*"")

л ю

б о г о 1

*0 •

С».также,работу

Е.НСашка. [2S] .

Постановка задачи об оптимизации при общего вида решет­

ках для периодических функции должна быть *акс-я.

Рассматриваются периодические функци».

периода

единица но каждо_у

с осНиВиыи периодом

Q .

Решёткой называется такие р-сполижыние

»пч ек, лО^о^ое

задается в ^иде

( *1 -число точы.,.^падающих в| Q

j

с некоторой

нену­

левой матрицей А(*0

и которое согласовано

с периодом, то-

ест* само имеет период

единица ,по каадоыу

acj .

HeouA.w.u>u» i . ^статочным условием для такой периодич­

ности является свойска-.

-..i^fecrao

точеп

, V K ]

до.чкнО включать

(2.3.7)

все целочисленные 1ч,ч^,

(.V-

ч ь

* )

(.">_,• = o,i . < . ii,

)

Л

( л )

цело^исленьая .

{'2.8.8)

Асмиптотически

оптишл^.лш ^нкционалом погрешности

для области

i T

и заданной последи^сисльности

решёток

Л(м)к ('•'•--J

называется фушщион&п погреши,^,.,.

со свойством

U [lCrl)kt\stf/\"ktU*-ILci*s(x~b<td*)\-k

а 10).

Требуется для иш>ости

SL

над

найти асимп­

тотически оптимальный ф^ы,циэиал погрешности(2.3.9) с

ослабленно регулярным

пограничным слоем

(0.2.12),(0.2.13)

Мы не решаем в данной работе

этой общей

задачи.Одна­

ко ниже сделаем её для одного из важных случаев неизо­

тропных пространств

H j

-пространств

Длн Wj. пространств в любой заданной решётке вида

О

\

•

о

W

К -

( %

, -

V " 0 ,

(2.3.11)

V

л , . ^ ,

-Wj

7целые

числа

(2.3.12)

мы построим асимптотически оптимальный функционал пог­

решности И вычислим его

норму.

Мы доведем и оптимизацию норм асимптотически

опта- ,

мальных функционалов

по решеткам,но в упрощенном вари­

анте, рассмотрев только

решётки вида

(2.3.11), (2.3.12)

ч