Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

?9

с различными

Jv 4 , ..

,

Однако на^енн^л

и результата этой оптимизации ре­

шетка оказывается наилучшее по порядку,так как даёт

для нормы оптимального гдуикционала погрешности тот же

порядок при

. N -л-оо > Ч то и произвольный выбор уапов и

B Q C O B .

оаметим сраьу,что для г,ростран"ств W^* таюке извест­

на оценка снизу порядка, нормы функционала погрешности с

любыми весами и любыми

не

обязательно решёт"атыми уз­

лами. Этот

порядок

ест

'

»

О

^

(2.3.13)

где

>i

1 =

J-

У

- L .

п

*•

pt*i

(2.3.14)

п°.2.3.2. Решение общей задачи

над W a .

Рассмотрим ({ункционал

погрешности

{ С о о Ь —

( 2 -8 Л Б >

асимптотически оптимальный в данной решёгке'(2.3.6),

(2.3.8) над пространством

(-2).Для указанной

асимпто­

тической оптимальности достаточно

взять

^ , M „ M i | 2 . ) .

^ ( - э л е )

Оказывается,условие (2.3.16) достаточно

и для

того,

чтобы {"£ ^ О * ) ].«->-'=' ^т

асимптотически

оптимальным и

над

(Si.)

при

-

< М. S

fxin.

Гл.-

£

гвдх. ru; *

М

(2.3.17)

1

а-Тл

3

№

6

8 1

mwmwo-S^tx,

* ^

л

цы^

(2.3.24)

Так как. в

плотно

СГ^й")

достаточно

рассмот­

реть (2.3.24) с

g г » fe С~(_й").Далее,очевидно,если

верна оценка (2.3.24) для какого-нибудь М^М0

,то она

верна и для меньших

М

.Поэтому

сразу выберем четное

число

М,= 2гп(

m -целое) и будем доказывать (2.3.24)

только для этого М0 .

В этом случае (1-д)т о, (х)

имеет

обычный,класси­

ческий смысл.

Итак,надо доказать,Что для любого

й > 0

I ^ ( ^ ( О ^ У ) а - ^ ( х ) ^

*

J g

-

ЦС^^

(2,3.25)

равномерно

по

§.(*.) 6, С 7 ( & л ) .

ЧъО*-эЛ О - ь)" 1 ^*)

можно записать

в виде

D - f

C^-y) 9 C^J

c

некоторым постоянными

коэффициентами

d <

.Левая

часть

(2.3.25) оценится

через

Z

lo*l

«^(^(D)D° l + l Cx - 4)ocx)|| J <

Поэтому достаточно уметь оценивать отдель.чце слагаемые

этой

суммы.Таким образом, приходим к задаче :

для любых

d » о

равномерно

по

СГ°С^

подучить оценку

Благодаря гипозллиптичкости

оператора

( D )

,мы

шеем согласно л е ^ е

13 и учитывая.4 1 0

оценку

||

(*•) D*M (В) 4V (х- у) g.OO к

^

.<

mox. |f, Cx)| II / ( D )

^ (x-tf JCx)|| w

u

, c & 4 p p t

( C x ) )

*

пусть

ui, = { x | p(_=c, Ьцрр S'lCxi) < 4; }

иведем теперь функцию

4 * 0 0 •' fC*) &

Ц>(*)

- i

на

w t

, 4чх)-о вне

{ х.| J J ( X , Ъмрр ^.Сх)

* '

С

/I 4Чх) j

*

(U)

4

4 о

,

W ||Й 4

( .

Итак, нам достаочно

оценить

последнее

выражение Через

||<j(x)||^(R.4) .То-""ть

мы упростили

первоначальную

за­

дачу, попросту

уорав

Ц-д)"! Или,что

то же самое,мы пока­

зываем, что достаточно

рассматривать

оператор

из

^2

в

°1г •

Надо получить оценку

О

| | ^ ( в ) ^ - 8 ) § ( х ) ^ (

0 ^ ^

E . w l ^ u . a .

После

замены

эс-у

= Z

мы приходим к эквивалентной

оценке

В *с*+а> /• С»)

gcx)

1 ^ *

II qool

S j

f

О»

900 -

j

d г f b

(a) § (*) К, (* - fr)

f

KJA -ядро

сообщенного потенциала Бесселял которое

имее*