Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
оценка снизу нормы OfiCx)} дается теоремой 2
1реоуется получить оценку сверху: |
|
|
||
* |
С ' ^ Ч ^ |
* Г ' . |
(2.8.27) |
|
|
|
h |
т |
|
|
|
|
|
|
Возьмем разбиение |
единицы |
i = |
5 1 $.«.(эО,составлен- |
|
не из периодических |
периода |
1 по |
кыхцому |
а ? , , *Ч |
функций $t ,кавдая из которых есть сумма сдвигов на всевозможные периода одной финитной функции:
к
иоэьмем е^е функции V t W e o свойствами: |
|
а также функцию: ? "с*) * C f O . S <Х) = i- |
на <3 |
Имеем |
|
Поэтому |
|
1к|<3
85
Отдельные слагаемые последней сумш имеют хорошие оценки по лем^е 15 с*
Рк = Ътс*>МЫ &
* с M ' ^ m i ^ mo* Wj"N i
Значит,в оценке (.s.3.28) 21 не превосходит
Для оценки первого сл^асМиго в (2.3.28) достаточно
показато.что для любой функции |
%(х)е СГо* усливиш |
||
скот &и/>/> |
<L |
|
i |
В случае |
изотрош^го |
пространства 1(4™ (я"1 ) и иав- |
|
номерний решетки с шаг-м |
t* |
-ы умеем получить |
|
оценки . |
' |
|
|
t
86
ьозшеь V- так »\-L
гп. = |
MjlM |
01 |
в.зесль (i>.o.fc9; из i£.3.d0)
временно обозначим
' / г г п . |
(2.3.о0) |
|
и тп |
ра_нш |
|
и |
l l 0 " a t e M |
,<UK |
i JC*)/i |
s ( W |
i d x i c o e " £ x * r / i c , ; ^ ) f c |
Далее применяем неравенство
8 ?
1
которое вьподняегся для |
всех ^ |
с некотором l i ^ . ^ j i i i . - u i , |
С ,не зависящей от |
J . |
ч |
* Z " i w . K w J V - t
Воспользовавшсь оценкой (2.3.30) для K§(y),fW2 (ft*1 )] IK
поучаем ошовчательно
|
i f * |
С |
|
|
|
|
что • требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
St = (ч|| ,...> , тя ) |
с условие- |
1?Ч* ^ |
» ^ . |
|
Hiммл17. Среди решёток вида (2.3.11),(2.3.12) |
опги- |
|||
I |
•о.им>ая по порядку решетка для |
пространств оп |
|||
|
ределяется услоша^м |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
М, Н ^ - Ы ^ - ; |
л£ -целые/числа |
(2 . о . Ы) |
||
|
если условия (2.3.31) совмести». |
|
|
||
|
доказатедьстар. |
знаем,что решётке i i . a . |
(2.о. 12) |
||
|
даёт порядок оптимального функционглс: |
|
|
||
|
|
|
|
|
8 8 |
|
|
|
|
|
|
m a x |
JV; |
"D |
|
|
|
|
|
|
|
j-.iTn. |
J |
|
|
|
|
и.й.32) |
|
Оптимальной по порядку среди решеток (2.о. 11;,(2.3.12) |
|
||||||||
будет |
та, которая при |
|
дает |
наиболее |
быстрее |
|
|||
стремление |
к нулю .величины (2.3.32),или при постоянном |
|
|||||||
JV |
наименьшее значение для (2.3.32). |
|
|
|
|||||
i'aiJiM Оиразом, приходим к задаче: |
|
|
|
||||||
найти |
л ° |
,... , л £ |
из условии |
|
|
|
|
||
•' V « |
K = |
J V i |
СЧ*) |
= Г>и"а |
1 |
/ о ~ |
осп |
||
|
t |
;-.<л |
" |
|
j ' - M |
|
(2 . |
.do) |
|
Удобнее рассуждать,считая |
-Nj |
непрерывно меняющимся. |
|||||||
Очевидно,все (-Nj0 ) |
должны равнятшя друг другу. |
|
|||||||
Если бы хоть одно из чисел |
(/^J) |
оказалось меньше |
|
||||||
других, то мы сразу могли |
бы этим воспользоваться,умень |
|
|||||||
шив все остальные за счёт небольшого его увеличения. |
|
||||||||
Это уменьшило бы Первоначально достигнутый |
ntqx |
С О |
|
||||||
чв!-о не должно быть. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 . |
_ i |
|
|
- J — |
|
|
||
Полагая |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
приходим }[ |
результату |
|
|
|
|
|
|
||
Остаётся заметить, что у*'о решение, полученное для любых -не обязательно целых л^- у-одится нам Только если Л^- окажутся целыми, то-есть если условия (2.3.31)
|
3 9 |
* |
совместимы. |
|
|
Teopei.a |
б. Не решеке (2.3.о1) асимптотически |
оптималь |
ным над W2n |
пространством является чункционел |
класса |
< rn'< m.i.n. fx: < nuajc m,- s m."
Норма функционала,асимптотически оптимального над пространством в решетке (2.3.31),есть
I |
С W t e |
n f |
= l - Q l * W~ |
-Тщф"® |
(2.0.34) |
||
При |
Jsf—те |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Эта теорема есть |
простая переформулиров- |
|||||
ка i |
на решётки |
(2.3.31) |
и пространства Wt общих |
резуль- |
|||
татов-теоремы 4,лем>.(ы 14 и теоремы 5,установленных для |
|||||||
произвольных пространств HJ ! |
|
|
|
||||
Конечно,в упомянуты., утверждениях |
мы устанавливали |
асимп |
|||||
тотическую оптимальность для простейшей решётки |
|
||||||
Кк = ( к Д , . . . , к . Л ) , |
k ^ o . H . - t i , . . . |
|
|||||
Но их доказательства не зависят |
от вида решётки и без из |
||||||
менений переносятся,например,на |
решётки вида |
|
|||||
|
кк = С к г . К К |
|
|
к^.-о,и,±г,... |
|
||
А ведь (2.3.31) |
как раз такого вида. Поэтому мы не приво |
||||||
дим подробного докааательства-это |
оыло бы просто перепи |
||||||
сыванием доказательств |
теорем 4,5 и леммы 14. |
|
|||||
