Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
9 6
погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
С ( * ) = Т. |
* ( Ч К ) , |
|
О Л . 1 7 ) |
||
причем объём области |
со^ |
— |
мал: |
|
|
|
| "Jiv | ^ |
С /| U к.| , |
тан как так же мала |
область" |
|
||
|
S u PP ( г £ * 0 О - 1 ) Л Q . |
|
|
|||
Поэтому |
(3.1.15) допускает |
оценку в VVj."1 |
нормах, |
уста |
||
новленную для функционалов |
вида (з.1.^например, в работе pJfiJ: |
|||||
I I I * |
l l C w I l c ^ r " " C 2 k V ) - i ) u C x | it, |
4 ) I U r |
«. |
|||
Последняя норма оценивается с помощью свойства 2, где в
равенстве (3.1.7) мы полагаем |
, |
Применяя ( 8 . 1 . 8 ) , получим |
|
Далее используем свойство 1.
|
а? |
|
(8.1,14) доказано. |
|
|
Рассмотрим (3,1.13).(Ниже неравенства ^ |
и знаки ± |
|
согласованы, |
так, что при знаке + |
.брать г» |
при знаке-—брать |
. |
|
* I ^ ( х ) ( 1 - Л ( х | ^ , ^ ) « ? 1 t Ш ,
по свойству 3 с р - О.
Остаётся
I *t*(x) 0 - Л ( * к 4 ,*)ls^ - k . V ^ V ) 0 - Л ^ ^ л ) « э , *
Первое слагаемое есть |
|
|
|
Пошжем, |
что второе слагаемое есть |
o , ( V ) |
|
Пусть t |
t (х^ |
определено формулой {3.1.17} |
|
|
|
|
\ |
Tt » { x | x e Q j x e u \ > |
. p ( x > « 0 « * j ^ ГЬ |
= И<84.<«), |
|
Имеем по определениям нермы и функции
Вместо £j^(ac) шидегавим ^ ^ ( x ) + |
^ц°ЕС*-), напи- |
санную выше дрвй* разобьем соответственно на три слагаемых и оценим каждое сверху
Аналогично
Заметим, Что функция ЧЧх)=.(1-0 |
(-»-*ii*<x)) *f(x) в 6 Л |
||
окрестности |
носителя t^Qx.) |
является |
решением эллиптн- |
чесюго уравншии |
|
1 |
|
Поэтому с люб** иесяонечно дифференцируемой функцией |
|||
с исстелем |
окрестности |
&чрр |
ЧОДртсвлетво- |
ряет оценке |
|
|
|
93
8*е(*Ж*)Цн* С(«)|ч«<*)|1$** Сф-СДуМВ^
Воаьмёи t e ( x ) равной 1 на носителе Сц. (=0
« * Ц |
t«#(*>«5f c |
/ |
II ¥ М 11% |
Итак, |
|
|
|
|
|
Очевидно, |
квадратная скобка есть о(1) при h-*o |
|
|||
Так чти |
(V о ( ^ ) . |
|
|
|
|
(3.1.13) |
- домазано. |
|
|
|
|
Ия (3.1.13) |
и <3.1.14) |
следует, что |
|
||
I K W - u |
C x j ^ |
m |
^ ^ o C r ) . |
(3.1.18) |
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
. . 2 \«tVx)JJ^jV |
( i t o ( i ) ) |
- |
1 Re < £ f t x ) , ir(x)> = |
|
|
ОВДяшся снова к (3.1.12) |
|
|
|
||
, \|ф*>1[адз* -e |
1**(*|^'л)И<»* £ И * ) И * * ± |
(3.1.19) |
|||
1 0 0 |
|
\ |
* |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
\ |
|
Благодаря влояенип W± |
W z |
последнее слагаемое |
оценивается сверху через |
|
|
i|U4*bu(*Uh°> '*.)|lu* |
= о ( Г ) |
согласнЬ (3.1.18) |
А для первого слагаемого в правой части (3.1.19) Имеем
Опять последнее слагаемое оценим сверху, заменив норму
на |
, а с «f4 - |
нормой оно уже оценено по свойству 3 |
|
(с р = о ) |
через |
о ( 0 . |
|
Итак, |
|
|
|
I ^ ( * % . Г =1 ^ W ^ - ^ ( * l ^ > - ) « ? , + 0 ( О « ' |
|||
= СII |
0; Л |
С* I « J . - О |
Ц * ° (.О $ |
$ . C K < - A ) V * I е Ы » ^ |
C f O - z h x i X i - ^ ^ l ^ . - n ) ! ! |
||
Второе слагаемое мы ухе рассмотрели при доказательстве свойства (3.1.13) и показали, что он есть a(hT~}.
: Таким образом, |
|
II £ c*)fo - r = |
О o(D), |
что и требовалось доказать. !
Теорема 7. Если
t
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ЭД.20) |
то с некотори |
р & |
[ i •>=') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|_ ^ С * ) ] i ^ j t |
— |
асимптотически |
оптимальный функционал |
|||||||
погрепности над пространством |
W»o(-Q) для |
|
|
|||||||
Доказательство. |
Над пространством |
W^T |
любой функци |
|||||||
онал i^C*) оценивается снизу так |
( т е о р е м а 2,") : |
|
||||||||
II tfooijear |
|
* , л М | |
w l c * : r ^ + б С 1 ) ) • |
( Э Л , 2 2 ) |
||||||
Идея доказательства |
*) |
теоремы состоит в том, что для |
||||||||
функционалов (3.1.20) мы можем получить такую же оценку |
||||||||||
сверху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
* Ш - « |
( i |
+ |
o |
W ) |
- |
( З Л , 2 3 ) |
|||
Ясно, что ив ^(3.1.22),(3,1.23) |
и следует асимптотическая |
|||||||||
оптимальность. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим - |
- 0 - L = |
' |
U |
Qb.(sK,) |
|
|
||||
Отметим, что при |
К0—о |
|
|
|
|
|
|
|
||
Положим |
|
|
|
| Л \ Л О - * 0 |
|
|
|
|||
к ^ с * % * г * ! tfc->i[«r.+1 оЙг« та* ( З Л - 2 5 )
*) мы взяли её из работ Соболева р9-Ц1,где она применялась в гильбертовых iC^1 — пространствах.
Ю 2
Имеем
(o(t) |
зависит от |
' » • • ) • |
|
|||
Huxe мы установим такую оценку, |
|
|||||
С некоторой функцией |
чэ(т) (if(t)-»cnpH t-*-o) |
|||||
Показам сначала как с помощью (3.1.27) |
зазеряить доказа |
|||||
тельство теоремы. |
|
|
|
|||
По^дставии (3.1.26),(3.1.27)'в (1.1,25) и разделим |
||||||
обе части на |
J £ J (x)j| |
= + С1 ) • |
|
|||
u k w |
I |
та |
- / к о * |
1Л1 • ( 1 + • W ) |
+ |
|
Устремив к нулю |
к, |
получаем |
|
|||
Левая часть не зависит от |
I , , а ь прелой части квадрат |
|||||
ная скобка становится сколь угодно МИЛОЙ при малых 'и . |
||||||
Поэтому оценка верна и без этой скоб» |
|
|||||
Отсюда и следует оценка (3,1.23) |
i |
|||||
Займемся свойствен (3.1,27) |
|
|||||
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
•'• |
k . M t |
* ~ -«<-?.M 3 |
I |
1 0 b |
|
HQ тогда и
Отсюда и из леммы 9 следует, что
Ь * ч а Л ( |
б Г П |
к о с * . - ) ] П й ( ^ Л а ) . |
Это означает, в частности, и справедливость оценки (ЭЛ.27)
§ 3,2 . jfofrT лШ^ДЗДУ U ~ "°Р"
Главная задача этой работы-минимизация нориы функциона ла погредаости в пространстве, сопряженном к некоторому 3 банахову пространству гладких Функций, может быть сформули
рована по - |
другому (эту формулировку мы берём из работы |
||
Н.С.Бахвалова fs . z] |
) |
||
О функции |
f (х") |
известно, что она '•принадлежит некото |
|
рому шару |
Sg, |
банахова пространства В: 1 Ш * ) Н ь ^ & . |
|
Наине кубатурную формулу, данную наилучшее приближение рав номерно по всем функциям из данного шара Sre
iki решаем ату задачу, выбирал предварительно в задан ном банаховом пространстве В одну из эквивалентных норми ровок, удобную в доказательствах.
Надо отметить, что не в любом пространстве В сформутированная задача получаетая естественно поставленной. Речь идёт о б/жаховых пространствах, нормы которых выража-
