Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

Скачать файл (3,64Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

А сч
ются через интегралы от ч'ункциГ. и ей производных (заме
тим, что эквивалентные нормировки	таки.\ пристранств также
содержат интегральные выражения). Как правило, ото очень
употребительные пространства -	3 \А/рч.	0-—днако, мы

считаем, что они пе вполне соответствуют е(£ор=_улированной задаче теории кубатурных ф и ^ л . Например, для W.T нрост-

ранстю получается; информация, использованная для того,

чтобы оценить точность приближенного значения интеграла, содержит значения интегр<.и»ов от квадрата Функции и 1свад-

ратов её пршиводных - то-есть опять интегралы и даже от более сложных выршяэний. .Чонечно, эти интегралы можно бы

ло бы оценить сверху через максимальк :е ьлвчения их подин-

тегральных выражений. Но из условий поставленной задачи не

следует конечность этих подинтегральных выражений, они мо гут и не быть конечными.

Выход, повидимому, в том, что желательно оценивать

нормы функционалов погрешности над пространствами, выраже ния норм которых не содержат интегралов. По крайней мере,

такие нормы, выраженные через максимальные значений функций, её производных и модулей гладкости, позволяет сводить проб лемы интегрирования Функций к задачам .другой области - отыс

канию максимумов функций.

Так мы приходим к формулировке первого условия - нор ма банахова пространства В должна выражаться череа мак симума функции, её" производных и модулей гладкости.

Такие банаховы пространства мы называем пространствами Функций, непрерывно дифференцируемых до некоторой} порядка.

. Норма W~ - пространства для четных, т. удовлетвбр*-

ет 'поставленному			J - C M W D ,		Заметим, что			при чётном		ш
	2 _ U + ' i u l " )			"1к,е		=		f o o , .		( З . ; . л )
	к
1 • ,е	Д -	+ •••+ -j^-r			-	оператор Лапласа.			(Рассмот
рим равенство (3,2.$при				л»-<>ьк		"п, как определение			его	пра-
БОЙ	части	(^~л)		через		левую. Г-то		оудет удооно		в
дальнейшем).			- корму молю теперь				зашеать так
	Если	ввести	С - норму		термулой
	U^)\\z =		(пах	( I K	X	) - W , I	U	) ,		-'ч.г.з)
то 63.2.2) записывается в виде
	ш * ) 1 1 ^ = \| 1 о - Л ( ^ » с •									[ ъ ' 2 ш 4 )

Так определенная норма удобна для примспэния наших

методов доказательств (она.является "нулевой" нормой

(3.2.3) степени некоторого оператора				( f - u ) " 1 ^ ),		прл чёт
ном	nr. (3.2.4) удовлетворяет		поставленному нами выше ус
ловию.
	Мы, установили достаточные		условия	асимптотической
оптимальности функционалов пргрешности				{	C*.^(x)j и х над
We2"	пространством периодических функций с нормой					(3.2.4),
(3.2.3) и соответствующий ему пространством					\йС(.л )функ
ций,	заданных в И	с нормой

i с;

Норма w«, - пространства неудобно в другом отноше нии. Обычно информация гладко':ти функции за!ушчается в ' конечности некоторых выражений от отдельных производных, а (ЗЛУ/ ) задаётся как максимум модуля значения некоторого линейного оператора ( 1 - н а Функции j-(x). hc-нечно,

но нормы, стоящие'С'I.J3HHX сторон з'гого неравенства, не эквивалентны и не могут заменять друг друга Б нашей зада че.

Мы хотим,

чтобы норму пространства

можно было

продолжать задавать в виде некоторое кулевой

В" -

нормы

от степеней оператора

(J-<0 , а

^иенко

А Ьиде

Одновременно,

пространство

должно иметь

такую

эквива

лент!:^

нормировку

|<*|ьпг

Это .-.аше второе

условр.. Пространство

ему' не

удовлет

воряет.

Объединяя

оиа условия,

приходим к• следукщему

требова

нию на над ндрмы банахова

пространства

Должно выполняться

(3.2.6)

и неравенство

UI*-IP.

C t

, C i -

не

завис чщме от _ f ( » ' постоянные

( Ос Ct

Ci •=• °°

)

Й', и

— нормы не содержат действия

интегрирования.

1С?

В теории при олихен ий и уравнений с частным) произ водными давно применяются "гёльдеровы нормы", удовлетворящие сформулированному 'фебованию fal}.Обычно эти нормы выра-кают через конечные разности и модули непрерывности' некоторых порядков. Например, можно взять такие нормы

1де	у>о	, s = о, f,...	(в	остальном	S" и S	произволь
ны),	Д	(без индексов) -		оператор Лапласа,
д8 К * )
Заметим, что п^м объединении (3 . 2 . 8) и (3.2,9) возникает
оператор Q - д) в степени				. Можл~ было 6и восполь
зоваться		произволом в	выборе У, s		и взять их такими,
чтобы степень оператора (1-й") была чётной, это						уироша	т
вычисление нормы. Например, можно было бы ваять
Мы не можем следовать			этому правилу,		потому что	согласно
своим методам должны требовать
		0 <	i .				(з'.г.Ш
Тогда	естественно положить			S = 0.
Таким образом, мы останавливаеися на следующей нормк
I f W S g	*	\|C)Js5 = " « * x ( U		\|А Э 0 - Д??(х )\|,!4 ,оч<1			. ( 3 ' 2 Л 2 )
Её удобно записать так					1

В^,Сл)-это пространство аадаю-ък						в - f l	функций		с	ко
нечно!; нормой
* К х ) 1 в£ст =	u *	h^>kz.G^*§:				. g w i n		=	•	•
Обозначение		B^i"		объясняется		та/., что		это^ есть
с точностью.до эквивалентной нормировки пространства
Никол ьскогс-Бесива			Е^е		при с>=в = ° °			Г') ЗД^-^З.
На Е ^	мы распространяем результаты						об асимптоти
ческой оптимальности,				установленные		раньше для пространств
w ; ^ .
§ 3.3. Распространение результатов на .В^нормы
U пространствах			B ! i		с нормами	(3 . 2 . 5)		установим