Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

I * СII

to % : г

С1+ ° w) > к

" 0 >

а П. и

jjf

есть o(fcm )= o(||dt(ic)||(|^

при к* о .

Очевидно,

что это и: дает неравенство-, (3.3.1)

согласно (3.3-.2).',,

Это£ выражение нам уже встречалось в доказательстве

лешы 18, мы оценим, его

сверху через

о ( к 4 ) .

Для оценки U воспользуемся тем,

что

в£ о Вт е с: <£г

и поэтому

( 8^,)* = - # 2

Мы мохем выбрать последовательность функций { i -

(х) | • L }

- нормы которых равны 1:

г л о = с ( т л х | Г ^ с ^ | г Ц „ | ) = 1

(3.3.3)

и которые реализуют написанный супремум в пределе:

дящих через точку зс=Ь> (<,!,..,<) -

центр носителя

^ ' ( х ) .

(

I»)

Поэтому и последовательность f

(*.)

можно подоирать

обла­

^

(

1г^\х-)

при

х<= S4 pp £ " 0 3 = Q*t.

^

i - ( i ) ( x - K k i )

при

осе

Q k o O V

То-есть это функция

f^Cx) над областью

О. А.»,

повторен­

ная сдвигами

над областями

Qlv«0O.

Ф 1 ' \ Х )

периодична

с основным периодом

Ок„.

•

Ввиду отмоченной выше симметричности

i-( i (x") функция

ф1 1 Сх) получилась непрерывной.

Так как

j - ^ V x l

удовлетворяла

условию

Гёльдера с

показателем

(причем

у - ч ) _и консч .нтой Гёльдера

глах I rr j-^Vx)|

т о й

Ф^(х^

удовлетворяет

такому же

условию Гёльдера,

причем

т.ах

| Г г ф у Ь о 1 * .

m a x

| Г V b o l

(3 . 3,5)

Рассмотрим

ф < "

-, $ ф *

(х- ) olx.

И функцию

• .

<*

Ф ч х > - ф ^ Я с н о , ЧТО

mXa x | Г Ч ф ^ х ) -

]

| = пшх I Г * ф % | s

1 г У 7>Д

Значит,

Ф ( П о о - Ф , а , « £ Г

*

< 3 - 3 - 6 )

Рассмотрим

• -^|Дх)0

*•)

Щ

* 1

Ч Л

Л

Ф

Е

' .

-

,(3,3.7)

При этом функции

^(J\*-) периодичны с основным перио­

дом Q/i,,.

Повторим с

этим же периодом

Qk„

функцию £\°0-)

с её мосителя на всё пространство, положив

>

• / S f r * ) "Р и

•

<Г, ( х ) =

•(

Заметим,

что

^)-^u

(х / 4 Л ) -

*)

\ W

6f л) /I С gj. Г *

1 ~ J

(3.3.14)

Оценка сверху { ^ ^ W J l i t X

делается теперь, как в

теореме 7 :

Разделив

обе

части

на , 1| ^ (x)|l

у*

-

и

!

устремив

lv

к нулю,

цриходим к неравенству

Посколысу (3.3.15) выполнено для СКОЛЕ

угодно малых

к0 5

можем написать

'

'* .

Это и даёт требуемую оценку сверху

•

(3.3 Л 6 )

батурноИ формулы даёт формула прямоугольников

в

периодичес]яэм случае.

Действщтел^но,

как мы видим, она асимптотически

опти­

мальна (

и даже

просто оптимальна)

над любым" В

прост­

ранством

с естестБеттьм!

условиями

I 0 , i . ' . 3 ) , ( l . r . l 0 ) и

подходящей эквивалентной

нормировкой.

Понятие "универсальной асимптотической

оптималь­

ности в одной из^квивалентн^х нормировок"

отвечает су­

ществу дели: «w-ея это свойство Для

конкретной

кубатурной

формулы, мы уверены в её хороших оптимальных

свойствах