Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
|
|
|
1 14 |
|
|
|
позволяют сформулировать простые достаточные условия |
|
|||||
универсальной |
асимптотической |
оптимальности нубатурной |
|
|||
формулы над целым! классами банаховых пространств. |
|
|||||
А именно, |
мы имеем возмозность рассматривать |
сразу |
|
|||
следуицее |
множество пространств. |
|
|
|||
Зйд£1димся числом |
М , М > |
|
|
|||
Пусть |
ju.(j.) е Ht ( M i . K ) |
с каким-нибудь |
М ^ С ^ . Ю - |
|||
Рассмотрим |
|
|
|
|
||
Утверждение. Если |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(4.0.2) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
{ ^ C x ) j U 3 , e ^ C Q A , M . a ) , |
|
(4 . 0 . 3) . |
||||
то ^/vCx ^ |
|
является функционалом погреюости3соот- |
1 |
|||
ветствупцим квадратурной формуле универсально асимпто |
|
|||||
тически оптимальней над всем (множеством пространств |
|
|||||
(4 . 0 . 1) . |
|
|
|
|
|
|
Сформулированное |
утверждение является прямым след |
|
||||
ствием доказанных ранее .теорем. |
|
i |
||||
Воспользуемся им, чтобы построить куоатурные форму лы нового типа. Мы построим их в этой главе, удовлетворяя свойству ( 4 . 0 . 3 ) . Поэтому эти куоатурные формулы будут обладать оелабленно регулярным погр%!Чным слоем и будут •
универсально асимптотичесш оптимальными *вд множествам пространств (4 . 0 . 1) . Ниже мы даём описание построения фун*-
цвол&дсш погрешостей таких кубатурных фориул - |
это и |
|||||||||||
является целью настоящей |
главы. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Надо сказать, что функционалы, использованные Собо |
||||||||||||
левым С.Э1. также принадлежат |
выделенному |
семейству - |
это |
|||||||||
IT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нетрудно было бы показать. Но, |
предлагая |
построение |
но |
|||||||||
вого функциейала погрешности и |
кубатурных формул, мы рас |
|||||||||||
читываем на то, что их коэффициенты будет удобно факти |
||||||||||||
чески вычислять для областей с гладкой границей. Усовер |
||||||||||||
шенствуя предложенные построения, мохно найти формулы |
||||||||||||
КОэффицАпнтов подобного вида для областей |
с |
кусочно |
глад |
|||||||||
кой границей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4 . 1 . Описание |
построения. |
|
|
|
|
||||||
1°. Разбиение |
единицы. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Считаем, что |
область |
-П. |
обладает |
границей |
Г |
класса С |
||||||
Пусть |
•{_uTj i ^_ i. — |
взаимно пересекающиеся |
области |
|||||||||
с кусочно гладкими |
границами |
класса |
С2, |
такие, |
что |
|
||||||
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
А главное, |
|
обладает |
свойством: |
|
|
|
|
|
||||
часть границы Г 7 |
попавшая в |
|
, может быть записана |
|||||||||
формулой, выражапцей |
одну из ^координат однозначной функ- |
|||||||||||
цвея кадеса |
С м |
остальннх координат, |
|
|
|
|
||||||
*Ч Т |
* j Оь - , |
|
, хь.+1,.... х,0 , |
*<4- |
||||||||
причем, функция |
Jfj |
периодична периода |
1 по каждому |
|||||||||
яз своих аргументов, |
а область I I (~\иг, располагается по |
|||||||||||
о
\дну сторону поверхности Xf = ^ .
1 20
Такую систему областей всегда можно выбрать.
Сначала составим вспомогательное разбиение едини
цы для |
функций одного |
переменного. Положим |
|
|
|||
|
|
|
М(|-Г) |
|
|
|
|
, |
. |
I |
О |
при |
t & (о, |
О |
|
И |
|
о |
|
о |
|
|
|
эгда |
|
|
|
|
|
|
|
I |
4>C0 |
& C M ( l ' ) , < f C O * o , f |
(T ) |
= f C - r ) |
|||
|
|||||||
|
ьчрр |
4 > C r t [ - i . i l |
, Ч " ( ^ - |
i.- |
при |
l t - U V z |
|
Z. f Ci -Is ) » i .
Сдадимся пока произвольными . &i > о . имеем
а для |
x e |
ft4 |
|
О |
. |
||
1 а Д |
J L ^ - v - |
i |
^ h ? |
^ f - f ^ > ^ a : - i ^ |
|||
d |
|
'A |
|
|
i-[S,,...,S») |
|
|
В последней суше |
сгруппируем в-отдельную функцию У^- = |
||||||
|
|
те слагаемые, носители которых пересе |
|||||
каются с |
UT-. Если слагаемое может попасть в несколько |
||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
таких |
группировок, |
отнесем |
его в какую-нибудь из них. |
||||
Пусть |
Л |
• = supp Фу (*) |
^ |
а |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 1 |
|
|
|
|
|
|
При достаточно |
малом |
£i |
области |
и Л |
6 , |
близ- |
|||||||
ки к-областям |
UTj ^ так |
что можно в свойстве |
(4.1.1) |
||||||||||
заменить |
10^ |
ка |
|
* или |
- ^ ь , |
|
|
и оно |
будет выпол |
||||
няться для областей -fij |
или - f r j ( |
t t |
соответственно. Бу |
||||||||||
дем считать, i4Tb |
£i |
так |
выбрано. Продолжим.Ф- (х) из |
||||||||||
Q |
на все |
|
периодичеики с периодом |
1 по каждой пе |
|||||||||
ременной |
3tt ^ продолженные функции |
обозтчиы |
^ |
0 0 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь ^ Д х ) = 1-5" ^ОО.Зи» тим теперь,что |
|
||||||||||||
&upP^en-{*|fC*,nb£.b^ > f e V x |
) e l |
( 4 , 1 '2 ) |
|||||||||||
есть пу4«ное нам разбиение единицы в |
R*V |
Оно обладает |
|||||||||||
свиистиим |
(4.1.1) (с |
ггЛенсй uTj |
на |
-П^.ь, |
) |
кроме того, |
|||||||
)Pj |
( х ) е- С ^ й " 1 ) |
|
и |
^ |
(х.) |
периидичиы с |
основным |
||||||
периодом |
Q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2° . Элементарный фунп^шал. |
|
|
|
|
||||||||
|
Элементарным функционалом мы называем функционал |
||||||||||||
из |
Ю'Сеп )вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1к|бс,к^>-о |
|
|
|
|
|
||
подчиненпый условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
< > ( x ) , x J > |
= 0 |
Ъл*. |
|«l|sM. |
|
(4 . 1 . 4) |
|||||||
|
Опишем построение |
одного из |
возможных А СХ У |
Рас |
|||||||||
смотрим сначала |
одномерный случай. Для t = o , i ) . . . , M дллж- |
||||||||||||
ни быть |
< 'У- Ct) , ^ > " ° |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
'• Полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H ^ = J W ^ - 21 a*S"(W) |
|
имеем |
||||||||||
