Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

ъг

и указанная

посгЕДОвательность

существует

согласно

оп­

ределению

супремума.

•Рассмотрим функцию

g^'o."} = s.gn. (i-c0)

t-Sgh-Cf w

/ l ^ ^

Заметим,

что благодаря свойству (1.1.14)

И ^ с « 4

= 1 ;

имеем

воспользуемся

равенством

г.^ (эО = Cf" c ')J l e i ( x ^

+ с°

= IW-c.| +

1 С . |

<

^'W/ll^wllfc I

Поэтому

.

" к. С 2 с )

"В *

j-'<*>

• • ,

ток вак

1 - I c . I

s; U - c . | ,

C«-1 II -g *

~ y 0

приК.-»-0 -

Следовательно сущест­

вует k 1 > 0

такое, что для

o < r k < k 1

последняя

квад­

ратная скобка положительна. То:^а

' ( J * l t f u i L что

может быть только при условии

оптимальности

функционала

Мы ыогяи убедиться

ь ватаости

условия

(1 . 1 . 6),

Укажем более

удобное .для

применил

достаточное

условие,

обеинечивающее

выполнение

(1.1.и).

Леша 7. Есди Ь

влохено в

С

компактно^

то хы~ C - i

ПОЕЖНО (1 . 1 . 6) .

Доказательство. Из (1.1.15)

следует,

что .шикание

сооряганък rpocrpiHCTB, С* С ^

комтатю.,

The как

О к & ^ к о ь

равномерно ограничено в

С*-.

то семгястяо i t ^ f x ^ j . ^

компактно в В*"

Цждрошаш, чю

| е . \ ( х . ) 1 ^ - А о

Т о ч * существует

оддпадодсвагелмостъ

для ко-

Ч»

А *>1Я» cjeeceye* • фуниря if

,

не аавмсяцая

• » К, д м которое <г.сэс), f t x - i > *

а-/г

З м * ,

щш досяаючяо бэдомх

j

Теорема 2 .

Если "Б

удовлетворяет условиям ( 0 . 2 . 3 ) ,

(1 . 1 . 15),(1 . 1 . 14),

то Функцюналы

погрешности над ВСа4)

имеют оценку

Доказательство. Согласно леше 8 достаточно оценить

_\ониву й^сх^Цо-^Чтобы сделать это, применим t^cxC} к

последовательности

функций

V ^ i ^ } - ,

нормирующей

функцияал ь^С*-")

А именно,по определению

В _ нормы

функционалов существует'последовательность

•{.'v,'iC*.Y},°0

CO СВОЙСТВаШ

Наша оценка будет иметь вид

Чтобы вычислить

< t ^ ( - x - ) ) A A ^ C x ' i > ;

подробнее .рассмотрим

свойства HjOO и подажем, что среди всех писледователь-

ностей

(1.2.2^)

существует

такая -

обозначим её { v j f O ] ^

1

которая

кроме свойств (1.2.2 ) обладает еще следупцими:

V- {х.}- непрерывная функция, периодическая с периодом

(1.2.4)

к по каждому переменному

^

Re vV.. (о} = о

U = i, г,-.. ^ ,

(

ь й - 5 )

36

tvw,

R t V . C x ^ ^ O

для всех

J t R n

,

(1. 2 . 6)

S

V;Cx")dx. - 3l« V ; ( С}

-

O.

( 1 . 2 . 7 )

Докажем аозматность

выбора

i ^ j ^ H j . v

0 0

C D o ! i ~

стъими

t l . 2 . 2 ) , ( i . 2 . 4 ) - ( 1 . 2 . 7 ) .

Зададимся сметной последшателыюстью

веще.таенных

чисел,

стремящихся

к 1, но не ровных 1.

j

,

i

< * - ~ \

- t 4

* l

( 1 . 2

Для

t

6-

рассмотрим

, N _

x0 ex-, - i С 2 1 6 * ( x - * ^

и пусть

^ (:>0

J ^_ х

нормирующая

последовательность

для

l

^

M

,

тс-есть

v . W

^

,

l

l

^ ^

^ = d . d

t H ^ > > ° , ^ < ^ V =

< ^ (l«2 - 9)

Из вложения Ъ с О

следует

непрерывность функции

/ u t ^ = 0

Образуем функцию

a . c o - W " 2 1

л * . .

( X - K V ^

( 1 . 2 . 1 0 )

Она периодична с периодом

К_ по кандому

Благодаря свойству инвариантности нормы В

по сдвигам

- ( 0 . 2 . 3 ) , •

'

II г . . r ^ \ w * W" Z L

» • ;

r * - * M l U = i

Поэтому