Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
кубиков |
|
|
|
c ' ,.. \-*.\ i « |
Q , K | U x ; < ( K : H ^ K.=0,ti,t2.,... } |
(1.2.24) |
|
целиком иходлщих в Q. |
Ясно, что |
|
|
I f t J •- I Q M b ° ( i V > |
11.2.25) |
||
•Продолжим оценку |
(1.2 |
.3) |
|
Предел nps J-+OG последней квадратной скобки сущест вует и равен нулю. Подставляя в (1.2.26) этот результат вместе с (1.2.26) имеем при к->о
Для последнего слагаемого используем возможность пре дельного гк^^ода под знаком интеграла (оиоинование см. в [ 2 3 } , стр. 115).
Теорема 2. |
доказана. |
|
|
Слс^итвие^ |
Если В № ) |
эквивалентно &(Д) с В об |
|
ладающей свойствами ( 0 . 2 . |
3 ) |
, ( 1 . 1 . 1 5 ) , ( 1 . 1 . 1 4 ) , то |
где |
постоянная |
С |
мотет |
зависеть |
от О |
но не зави |
|
|||||||
сит |
от |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
1.3. Оценш |
сверху |
1 ункцисналоц |
пргреиностеИ |
||||||||
|
Основной |
мыслью, |
которая |
wvui |
нас |
nj и ра^пбгтке |
|
|||||||
предлагаешь теории, била та, что установленные в пре |
||||||||||||||
дыдущем параграфе |
оценки |
снизу |
точны по порядку. А именно, |
|||||||||||
существуют асимптотически |
оптимальные <] ушашонали с оелг.б- |
|||||||||||||
ленно регулярным |
погрошнппм слоем и для. i f х выполняются |
|||||||||||||
двусторонние |
оценки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
с |
некоторые |
независящими |
от l\ . |
гкх тояниьм! Су |
и |
||||||||
Сг , = < c J s C ^ - c , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 . i . i ! ; c |
. , V « u t ' f « w ^ , |
l l k |
W V |
" ' 3 ' |
|||||||||
|
Не умея доказать |
правую часть |
неравенств |
(1 . 3 . 1) |
для |
|||||||||
произвольных |
В |
|
мы ограничиваемся |
в этом naparpa]e |
изу |
|||||||||
чением нерава1ств |
(1 . 3 . 1) для |
пространств Ь |
Снача |
|||||||||||
ла |
мы выясняем те |
свойства функцисналов |
погрешностей, |
ко |
||||||||||
торые вытекают из |
наличия оценки ( 1 . 3 . 1 ) . |
Затем показыва |
||||||||||||
ем, |
что функционалы, |
описанные |
|
в работах |
Соболева (^19.12] |
|||||||||
удовлетворяют |
оценкам (1 . 3 . 1) над w J ^ |
|
пространствами. |
|||||||||||
|
Заметим, |
что |
норма |
\\ |
|
|
|
имеет |
порядок >и |
|||||
(при |
о ). Поэтому (1 . 3 . 1) |
эквивалентно оценке сверху |
||||||||||||
норм функционалов |
погрепностей |
через |
С к. |
|
|
|||||||||
|
|
п° 1 . 3 . 1 . Оптимальные |
по порядку функционалы. |
|||||||||||
|
Определение |
6. |
функционал |
типа функционала погрешнос- |
ти |
{ £|ЛХ М ^ t |
Jt , |
г |
д е |
^^Л*' |
имеет |
вид |
(0.>:.10£, |
|
||||||
назовём оптималшым по порядку над пространством |
NX/p"1, |
ес |
|||||||||||||
ли с некоторой не |
зависящей |
от |
к е К |
постоянней |
С |
.вы |
|||||||||
полняется |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Множество функционалов т.Ф.п., оптимтипьных по порядку |
||||||||||||||
над |
Ц/р"1, обозначим |
0 ( m , p ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Иакие-ниоудь |
множества |
областей, |
лежащих в |
О , |
о) С Q |
|||||||||
будем обозначать |
UT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим обобщенные функции вида |
|
|
|
|
|
|||||||||
< V ^ . U * b ^ Z |
С . а ) б - ( х - к А ) |
t L |
|
-постоянно по |
|
||||||||||
|
|
|
* |
>i € |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кьк функционалы, |
зависящие |
от |
параметров |
К. |
и а1 |
причем |
|||||||||
k t |
>С , |
a со |
может пробегать |
какое-нибудь |
множество XV, |
||||||||||
ш е- 1(7 |
Такие множества функционалов т.ф. п. будем |
обоз |
|||||||||||||
начать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
C O O . L H , W |
£ U |
R |
|
|
|
|
( 1 - Э - 4 ) |
|||||
|
Определение |
7. |
Мно.тество фунм^юналов |
(1.3:4) |
назовём |
||||||||||
,равнои?рно оптимальным по порядку нал пространством |
W p n , |
||||||||||||||
если |
с некоторой |
постоянной |
С > |
не |
зависящей от к_^У( |
и |
|||||||||
ш £ ИГ |
выполняются оценки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ч С ^ Н - г |
* с |
г |
|
|
|
|
|
( 1 * 3 * 5 ) |
|||||
для |
всех |
|
3£ |
и всех |
w e U7. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Такое множество |
обозначим |
R O ( m , р ) |
|
|
|
|
||||||||
|
Определение 8. |
Множество функционалов |
(1 . 3 . 4) |
назо |
|||||||||||
вем кБШ1111|ици1ювашо оптимальньм по порядку над |
пространст- |
вом |
W p \ |
если |
существую* не |
зависящие |
от |
К t |
и |
||||||
cO £ " W |
постоянные |
С и функция одного |
вещественного |
||||||||||
переменного |
Ч> (т^такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
у(зг)--0 |
|
при |
t - - o |
|
|
|
|||||
для |
всех |
kt'H |
и |
юсИГ. Слагаемое |
о^/гЛ) |
может за |
|||||||
висеть от |
со . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Такоо множество |
обозначим |
K O ( ^ , p ) |
|
|
||||||||
|
Определение |
9. |
Назовём классам 5 СЛ> |
|
чно- |
||||||||
хество функционалов |
типа функционалов |
погрешностей |
- ( 0 . 2 . 1 1 ) , |
||||||||||
(0,2 . 10), удовлетворявдих следупдему условию. |
|
|
|||||||||||
|
Можно угашать постоянные |
£ L t |
, L a , такие, |
что для « |
|||||||||
всякого |
е. , |
о<-е. * |
|
|
существует |
область |
^ |
||||||
{ » / х г 5 , р С * . Л ) * | ] с Г ь с { x | x e J 5 , j . ( x , i J ) < e } |
(1.3.8). |
||||||||||||
я функцюналы типа функционалов погрешностей |
|
|
|||||||||||
К Н . * . |
l |
|
^ |
L |
* |
|
|
|
|
< • * • > |
|||
таже, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
^ С * ) + ^ С * ) |
+ ^ С * ) |
= |
fe)-4w-rZ5(,-Kk) |
d . 3 . 1 0 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<kf q |
|
|
U |
|
e ? C x ) , ^ J k |
e с |
QKOM |
|
П R ( ^ ) |
( 1 . З Л 1 ) |
||||||
|
То-есть множество |
{ |
|
^ t * ) , £ " 1 ( х)] |
U x |
состоит |
|||||||
ив функционалов у.ф.п., обладающих ослабленно регулярньы |
|||||||||||||
пограничнш |
слоем |
R ( L ( |
) L a ) |
|
И является |
квалифицированно |
оптимальна* по порядку над Wp |
для всех гп t [ М, ,Ма ] |
||||||||
|
Лемма 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
еО(^,р) |
с |
П |
К О ( ш . о ) . |
|
|
(1.3.12) |
||
me CM..^J] |
|
|
mtfM,.MJ ] |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 >Р |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Пусть |
|
|
|
|
|||
|
г г л - т |
e 2 J l ^ x |
|
|
|
(1.3.13) |
|||
Эта обоощенная функция удовлетворяет уравнению |
|
||||||||
н является |
пери одичесжиы фувдаментальнш раиениеы опере- |
||||||||
|
1- А) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Известно, что при любом |
£ > о |
вне облает |
|
|||||
6" t - |
{ х | ix-x|<e |
, к-j = 0 , 1 1 , 1 2 , . . . ] - |
а это шар радиуса |
е, |
|||||
периодически повторенный на все |
12^, G(x) бесконечно |
г |
|||||||
дифференцируема и для ягюой ограниченной области Ш, |
не |
||||||||
пересе«ащейся с |
6 \ |
и обладающей кусочно гладкой грани |
|||||||
цей, |
выполняете и |
оценка |
|
|
|
|
|||
|
• l ^ l j s - ^ ^ c C f i . M . M , ^ |
( 1 - з л 4 ) |
|||||||
с любыми |
М к |
|
1 * р -г |
|
|
|
|
||
|
Если считать. £ "( х) продолхеннвй на все й"- иерио- |
||||||||
дически с основные периодом |
Q , |
те |
|
|
|||||
|
0-дУ? С(*> = |
|
|
А , с*-з>> |
(1.3.16) |
||||
|
Используя (1.3.14) и (1 . 3 . 15), |
поучим нужную оценку. |
|||||||
Пусть, сначала |
^ < с о > |
+ |
г ^- |
• |
|
|
Пусть ш £ |
= |
[ x |
jp(x,uS)<.'E. J |
П Q. , |
6(5" d * |< f"i!4) |
G^Cr ^ > p ) 4 S l l / ) |
)< Сдч) G„,(< ч Ч « |
||
|
|
t i |
= 1 |
|
• |
p |
p' |
|
/ |
= |
И й ) » ^ . |
C(€). |
£выберем максимально возможным из условия
|w£ | < 2.Jю|. |
,Тогда зависяпря от |
£ |
постоянная |
|||
С (О ставится в зависимость от СО , |
превращаясь в |
C ( V ) , |
||||
причем, вообще говоря, |
|
|
|
|
|
|
С ( щ ) - - ° о |
ПРИ | w | - « - 0 . |
|
|
|
|
|
В итоге, |
учитывая данные условия, |
мы получаем оцен |
||||
ку |
|
|
|
|
|
|
№*)11г<(^г * |
C t M K r + |
С » |
JA |
d.3.16) |
||
Если. cj= =>Q; то |
сначала |
возьмем конечное |
tyA |
ив условия |