Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf

F-

Г-

Л

можно

сказать

обладает

он свойством

£

или нет. Если

этот .

отрезок

обладает

свойством

£ ,

то

будем говорить,

что

на

ft -ом

шаге

последовательности

испытаний

наступило "событие

£

".

Со­

бытие

£

называется рекуррентным,

если

после осуществления

со­

бытия

£

на

il

-ом

месте

вероятностное описание

последователь­

ности

отр. 305 цитированной книги Феллера. Поспешны

обратиться к при­

мерам, поясняющим рекуррентность события.

I . Колебания слабохарактерных. Имеются

три точки

/

,

à L .

В начальный

момент частица

находится в

точке

ѣс

. В момент вре­

мени

t = £

частица

может

с вероятностью

Ѵ«2 перейти либо в точ­

ку А

_ j_ > либо

в точку <А I

,

а в

момент

времени

t

= '{

частица

возвращается

в

точку

S,с ; ситуация

в

момент

времени

I

£/?.<•!

-

136

-

такая же, naît в момент времени

І -

£

, в момент времени t. - Ж

происходит возвращение в точку

Л0

.

Событие £

-возвращение

исхода: "успех"

У

с

вероятностью

р

и "неуспех"

H

с

вероят­

ностью

(j, i р+

If.

« і)

,

Зафиксируем

натуральное

число

2

и будем

в протоколе испытаний Бернулли интересоваться "сериями успехов

длины

2

".

Это

несколько неопределённое

выражение. Рассмотрим

к примеру

кусок

протокола

сколько этот кусок протокола содержит серий успехов длины 2 ?

Можно считать,

что здесь

их.нет

вовсе,

ибо мы имеем три успеха,

а

не

два,

можно

считать,

что

здесь

одна

серия

успехов длины

2УУ

,

а .для

третьего

У

нет пары; наконец, можно считать, что здесь

две

перекрывающиеся серии

успехов

длины

2,

Мы примем следующее

определение.

Определение. Последовательность

Л

букв

У

я

И

содер­

жит

столько

серий

успехов

длины

2t

сколько в

ней

имеется

неперек­

рывающихся

подпоследовательностей,

.каждая из

которых состоит ров­

но из

2

стоящих

рядом

букв

У .

Событие

8

в

нашем примере

-

появление

серии успехов

длины

2

. Появление

события

£

в

Ч -ом испытании

означает,

что

в

результате

>1 -ото

испытают,

ьоэнинает

новая

серая

успехов

длины

Z

Так

в

последовательности

У У У

У И

УУУ

УУУ

имеется

три

серии

успехов

длины 3,

появляющихся в

т р ^ ;

л,

вось­

мом и одиннадцатом Емштанвтх.

3. Возвращение к началу. Пусть в

испытаниях

Бернулні с в е ­

роятностью

успеха

р

и неуспеха

= і-р

событие

£

оапачает

общее число

успехов,равно общему числу неудач.

KG am-.в

По существу

ту

же

задачу

мы мокек поставить

слу­

чайных

блужданий.

На прямой

нанесена

шкала,.одну

из точек

котоіѵ-й

npiiiVfc-j!

sa

начало

коо^ршзт

В начальный момент частица находится в точке 0.

В каждый момент

времени

t

= 1 , 2 , . . .

частица из

той точки,

в

которой она

на­

ходится, может сдвинуться с вероятностью

р

в

соседнюю

точку

справа

("успех")

и с вероятностью

= L -

р

в

соседнюю

точку

слева ("неуспех"). В такой интерпретации рекуррентное событие

£

означает возвращение в

начало

координат.

Из курса

вероятностей

известно, что

введеіше вероятностей

норировать эти трудности

и

с изучением рекуррентного события. Свя­

жем две последовательности

чисел,

определённых для

ІЪ

=1,2, ...

іі/ь~

Be о J

<Е наступило в Ц -ом

испытании |

,

=

Р)Ср { £

впервые

наступило

в II -ом

испытании j ,

удобно доопределить

/ ,

= °

•

-

I .

определяются

тривально

(-0

;

II

-

нечётно.

'i

}

а*г,

о,

HP

о .

Событие " £

наступило впервые

при

it

-ом испытании" несовмести­

мы и

поэтому

Ясно,

что число

і

- /

можно интерпретировать

как вероятность

того,

что

<Е

ни разу

не появится в бесконечно продолжаемой

последовательности испытага-ій. Это делает естественным следующее

определение :

Определение. Рекуррентное

событие £•

называется достовер­

ным,

если

/

-

£

, и

недостоверным,-

если

/.

s £

Нам потребуется ещё одно определение. В примере с колебания­

ми слабохарактерного и в

примере с возвращением в начало событие

£.

может произойти линь при испытании с чётным номером. Мы

будем

выражать

это,говоря,

что

событие

£

является периодический

(с периодом

2).

-

138

-

Определение. Рекуррентное

событие

à

называется перио­

дическим,

если

существует

такое

целое

число

' Л > 1 , что <£

может

произойти

только

при испытаітях с номера»®

А

, а.І , ЗА ,

( т . е .

(Іп=0 ,

если

II не кратно

Я

) . Наименьшее

ß _ } обла­

дающее

этим свойством^ называется

периодом

а.

Введём производящие

функции

сю

Заметим, что поскольку

в случае

периодического с периодом _Я

события

£

Д

= С ,

если

К jé

0(modА)

и

и^ - 0 t

если

<

(med'А )

то в этом

случае

J ) к

являются

скорее

функциями от-і^ ,

чем от

:і .

Д«я

задачи

о колебаниях

слабохарактерного

человека

Мы имеем дело

с достоверными

событиями периода 2,

Теорема I . Производящие

йѵтшии

Q(4)

и

îl(-i)

связаны

соотношением

Доказательство. Согласно

смыслу

рекуррентного

события ве ­

роятность

того,

что

£

произошло впервые при испытании с но­

мером

і

и снова

произошло при последнее ' II

-испытании

(si >

)• )

равна

f-ç

t-t-n-i1 • Вероятность

того, что £

произошло

впервые при С

-ом испытании

равна

^

= ß a

(Са

. Так ішк эти

события

не совме стиля;, то

Un.

~- Л "n-L

' /о

Un.ï*

- +

f a іі0у

fr*

I) О)

Теперь

-

139 -