Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 62
Скачиваний: 0
|
|
|
ь |
|
Можно также, |
обозначив |
|
|
|
|
|
'о |
|
|
сформулировать |
теорему |
так: |
пусть |
непрерывно диф |
ференцируемая |
функция, |
тогда |
из того, |
что |
um |
I |
+ Ц-) |
= 2 а |
{ -»- Очэ |
|
|
|
следует, что |
при |
t |
|
І.Іы доказали лишь простейшую форму теоремы Мерсера. Сформулируем более общую. Зафиксируем cL > О н пусть последовательность (I) такая, что
.і.кГІ |
+ (1 -л) |
-і |
l - |
|
a. f |
тогда |
|
|
|
|
|
|
Уп. — « |
|
|
|
|
(ми рассмотрели частішіі |
случаіі |
où - / |
) . |
.Доказательство |
|
мокно паііти в |
книге Хардл "Расходяищеся |
ряди" |
параграфы 5.9 |
||
и 5.IU. |
|
|
|
|
|
§ 3. |
Теорема Хагщи-Ландау о восстановлении |
||||
|
|
сходимости |
|
|
|
Повторим ещё раз. Из того, что числовая последователь
ность
имеет щюдел О. следует, что и последовательность средниг арифметических
Хі, |
о |
> ••• > |
К |
""{и) |
иі.юет тот УХО предел |
CL |
, обратное, вообще |
говоря, неверно. |
|
Однако, если на последовательность ( I ) наложить допол нительное ограничение, то будет верно и обратное утверждение.
Именно Хардк |
доказал |
следующее |
утверждение. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Теорема.Пусть последовательность |
( I ) такая, что |
существу |
||||||||||||
ет |
постоянная |
С > С |
такая, |
что при |
/I = 1,â,3,. |
|
. |
|||||||||
тогда,если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
tun. |
|
~Іг |
|
|
= |
a |
, |
|
|
|
|
|
то |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cirri |
X,i |
= |
CZ . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Э. Лакцау |
показал, |
что |
иста-ю довольствоваться односторон |
|||||||||||
ним выполнением соотношения |
(3), |
т . е . |
он доказал |
следуяпіута |
||||||||||||
теорему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Теорема.Пусть последовательность ( I ) вещественных чи |
||||||||||||||
сел |
такая, |
что существует |
постоянная |
С |
> Г |
такал, |
что при |
|||||||||
п |
= |
і, g,... |
|
х |
я ^ |
|
- |
х л |
> |
- |
ТС . |
|
|
|
О ' ) |
|
|
|
Тогда |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТО И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сіггѵ Х„' Il |
|
= |
cl |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Нрекде |
чем доказывать |
эту |
теорему |
заметим, |
что |
условие |
||||||||
(3 |
) можно заменить неравенством "глялжш..;" в |
другую |
сторо |
|||||||||||||
ну, т . е . потребовать существование постоянной |
С > |
0 |
та |
|||||||||||||
кой, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ Г І + І |
~ |
Хя |
< |
Ті |
• |
(з") |
Для того, чтосіы а этом убедиться, достаточно заменить последовательность I XnJ на последовательность [~Xn~J •
Приступим к доказательству. Осіозначігм
|
|
|
|
|
m-л |
- |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
/ I и |
К |
|
щюпзвольнне |
натуральные |
чиола. |
Произведём |
||||||||
с |
суммой |
тождественные |
преобразования |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
. / ^ |
|
Z-""1 |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
= K r r l , w K |
|
«• |
|
+ * " ^ і л ) . |
|
|
|
|||||
Пусть |
теперь |
|
fL |
< |
у |
< |
il + К |
. Согласно |
неравенству |
||||||
(3 |
' |
) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
п+к |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = . « ? Д > * * » ~ f c С , |
|
|
|
( 5 ) |
||||||||
ііа |
неравенств |
(4) и |
(5) кмес." |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к* |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X» < |
" Ъ . К |
+ 'І (т-пгк-Піп) |
+ ъ |
ۥ . |
|
(6) |
|||||||
Станом |
теперь |
произвольно |
увеличивать |
M |
до |
бесконечности, |
|||||||||
а |
изменение |
К |
подчиним |
требованию, |
чтобы |
-jpf |
стремилось |
||||||||
он к |
палорёд |
заданному |
числу |
^ > О . |
|
|
|
|
|||||||
и |
:шяч .•:, |
;г.'-П!.і.ч |
ча.-^ть |
нора, |
jitcma |
(6) |
стремится |
к CL+SC |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- if5 - |
|
|
|
|
|
|
Из |
этого следует, |
что |
при достаточно больших Л- |
|
будет |
|||||||||||
выполняться |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
-с |
cuts |
С . |
|
|
|
(7) |
|||
|
Теперь |
аналогично |
сутл.іс |
fy |
рассмотрим сумму |
S, |
||||||||||
|
|
|
|
|
S |
=Л |
|
|
|
*/•. |
|
|
|
|
||
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,S' |
= |
|
к |
тп_к |
|
4 |
il |
|
|
(тц-гпп-ц). |
|
|||
|
Пусть |
tl-K^J. |
|
|
|
-с |
II |
, |
по |
неравенству |
(3') |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КС |
|
ЭТО ПРИВОДИТ К нпрпвслстну |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
_ » |
< |
к х а |
+ |
|
к. |
, L |
с, |
|
|
|
|
||
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Но iÇ-ото вспомогательная |
ьплпчпна, |
п важно |
нам |
неравенство |
||||||||||||
|
х„ > |
т п |
. к |
+• J |
|
( T u ^ / r , , ^ ) |
- |
С |
, |
|
(8) |
|||||
Еслж /1->-оо |
и |
одновременно |
|
"/t~ |
~"" £ |
как |
и |
прекде |
||||||||
(но |
теперь |
пусть |
|
£ |
< |
J>' |
) , то правая часть последнего |
|||||||||
неравенства |
стремится |
к щлэделу |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
а |
- |
|
г |
! |
т |
с . |
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
£ < |
-g- |
|
, |
то |
О. - |
^ |
С ^ |
а - |
|
2ЕС f |
||||
и из |
неравенства |
(б) |
теперь |
слс.дуот, |
что при достаточно боль |
|||||||||||
ших |
П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хк >а - 2е с: . |
(У) |
Сопоставляя соотношения (7) и (9) видим, что
• lim Хц - & г
что и требуется доказпть.
§ 4. Суммирование рядов методом средин:: арифметических
Как известно, теория рядов базируется на теории пределов. Числовой ряд
ах + а2 |
-I . . . -+- Cl п |
называется сходящимся, |
если последовательность частішх суш |
имеет предел. Бея преувеличения |
ноглно сказать, |
что теория ря |
|
||
дов лишь но форме; отличается от теории пределов числовых после |
|
||||
довательностей. Почему именно такая форма придаётся теории |
|
||||
пределов? Па мой пзллд здесь две причини. Первая причина пси |
|
||||
хологически;!: вид ряда |
более |
эффектен, чем вид |
выражения |
|
|
ii.rn |
Х,і ~ |
О. • |
|
|
|
Например, эффектно выглядит |
равенство |
|
|
||
А.» |
- J |
|
е |
|
|
и совсеі: neü'1'пектііо |
|
|
|
|
|
|
к |
|
iL |
|
|
Ii. tri |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 - |
I |
ее. публкчыия |
fr |
|
|
РиОлкотѳка С С С Р |
I |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
a іЗЕМПЛЯ.-» |
I |
|
|
|
|
ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА |
|
|
