Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 0
|
U |
|
(хл |
+ J U ± ù i ^ j |
|
= 2 а , |
|||||
можно ли |
из |
этого |
заключить, |
что исходная |
последовательность |
||||||
( I ) |
имеет |
предел и этот |
предел |
зчшен |
|
|
|||||
|
|
|
II |
/ i m |
Хп. |
~cl |
F |
|
|
||
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полокитолышіі ответ на этот вопрос даёт следующая тео |
||||||||||
рема |
Мерсера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Теореш. |
Iiели |
|
|
|
|
|
|
|||
ТО |
|
|
П-— с-г> |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tint- |
Хп |
|
~ |
СІ |
|
|
|
|
|
Г-ІІЛО предложено несколько доказательств этой теоремы, |
||||||||||
интересующихся |
отошлём |
к |
книге |
Г.Харди "Расходящиеся ряды", |
|||||||
M І9Ы п.?.9 и п.5.10. |
Здесь |
\т |
приведён |
доказательство |
|||||||
Tfîoper.TiJ Мерсеpa данное Муром. |
|
|
|
|
|||||||
|
Прозде |
всего |
ш иожч.і считать, что |
а |
— О , в самом |
||||||
деле, пусть |
:.п\ доказали, |
ЧТО :;З |
|
|
|
||||||
|
|
|
'ііпі |
[Хц |
+ |
|
il |
|
|
||
|
|
|
ft -f tvo |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'Cim |
Ун |
= |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
II |
-г £.-> |
|
|
|
|
|
|
|
ЛОЛОКІП! |
|
Уп |
|
~ |
Û |
|
|
Имеем |
|
|
|
|
V ' |
, |
X i V ^ + A,^ |
|
|
|
|
|
|||
По условию |
|
|
|
Хл+ |
Х±-±^-1*Л- |
- 2 а |
— о . |
Значит, |
|
|
|
lim |
[кп. + ~~ |
п. |
) ~ V |
Мы предположили, что из этого следует
|
'Lern- |
|
Х/і — 0 |
, |
|
|
|
т . е . |
|
|
|
|
|
|
|
и значит |
|
|
|
|
|
|
|
> |
» |
|
|
|
|
|
|
|
tun |
|
Хп. — ^ . |
|
|
||
|
/г -»•«•« |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, пусть |
|
|
|
|
||
|
, ! |
|
|
/г |
|
<" • |
Лх ..г Хп |
Положим Ю.0 |
= |
О |
|
ri=l}'2t... |
_ |
||
, а для |
А ^ л - |
я |
|||||
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хі |
+ . . . -t |
Xп-i |
|
|
ra il-1 |
|
|
|
|||
|
r |
L |
* |
|
n |
|
|
Отсвда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кѣ |
|
= і і - т я - ( г і - і ) г п п . . і |
|||
- I Ü -
В силу условия |
ІПе - 0 |
это равенство будет верно |
ипри II - I .
Обозначим теперь
tn. |
= l ( X ' L + |
~ |
il |
' ) ' |
По условию |
Іц-*~ 0 при |
Ч |
-»-«»o. |
ùii имеем, очевидно, |
tn |
= j , [ п m t l |
- ( H - D i n ^ * - |
||
Значит, |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
П t, = —j |
|
2 |
|
|
IIa пишем эту цепочку равенств подробнее
і - 0
2-t*
n tIL |
= - ^ -• m . e |
An-zt-i . |
«îioia талая, получас:.:
или |
|
|
s! |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ l u |
|
|
/ ^ v t _ |
' |
|
ѣТТГ+Т) |
' |
|
|
|
|
|
|
о |
|
Поскольку |
^,;. |
*- Г |
, то |
ta |
01'рзнкчено, т . е . существует |
|
тм-:он |
, что |
ігги |
ліоОо;; |
II |
! |
-Jt . |
- Il -
Далее, |
для |
заданного £ * 0 |
найдётся |
такое |
Л'с - |
А/е(б), |
|||||||
что |
при |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ П 1 |
ч \ - |
|
|
УьТііУГ) |
|
|
< |
|
|
tLULLit |
~ = |
|
|
|
|
|
|
|
П (n-r |
l) |
|
|
|
|
||
|
И значит, при достаточно |
большом |
Л- |
|
|
|
|||||||
|
По |
£ |
|
сколь угодно |
малое, то |
есть |
|
|
|
||||
|
|
|
|
iim |
Шл |
|
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
Вспомним, |
что |
m,L |
- |
- 1 |
т |
' "г—- |
, а |
также вспомним, |
||||
что |
по условию |
теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
tun |
(Kn + |
|
-^—» |
/ |
= |
^ • |
|
||
|
|
Теперь |
мо;:;ем |
заключить, |
что |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
•Іігть |
Xп, |
~ |
І , |
|
|
|
|
|
|
и теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Укажем |
па интегральный |
аналог теоремы |
Иерсера. |
Пусть |
||||||||
на |
( С/ |
^ - 0 |
) |
задана |
непрерішпал |
функшш |
|
•/ ( и ) |
и пусть |
||||
при |
•£-*•«=-=> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тогда
