Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf

Целью этого параграфа является доказательство

следующих

двух

теорем.

Теорема 3.

Пусть

S

достоверное

непериодическое

рекур­

рентное

событие.

Обозначим

О

если

ряд

"ZI

If-

расходится,

при

II -* о=>

Un-?-

р

Доказательство. Условие,

что

6

достоверно,

модно

выра­

зить так: общий наибольший делитель тех индексов

j .

, для

кото­

рых

-fj^ >

0

,

равен

I . Условие, что

событие

é

достоверно,оз­

начает

(по

определении), что

Числа

lin

и

числа

/п.

^связаны

при

il -? 1 соотношением

(JC=C

ü L

-

t ) .

Применяя

тауберову

теорему

о

свёртках, полу­

чаем

Un-*

? .

что и требуется доказать.

Теорема 4.

Пусть

С

достоверное

рекуррентное

периодичес­

кое событие, период которого равен

2

(Я

>• і)

. Пусть

ß

о з ­

начает

ту

же величину,

что в

теореме

3. При

и.

<~-°

К

и

* г л ? ;

если

не

делится

на

Д

,

то

tU

= с .

ß .

Доказательство: Так как

£

имеет

период

,

то

в

ряд

= t

входят. только

степени

\ ^

. Обозначим

J~i (і)

является степенным рядом с

неотрицательными

коэффициента­

ми, причём

общий

наибольший делитель

номеров

положительных коэф-

-

І4Г

-

фициентов в ряде

равен 1. Очевидно,

=і

s

l-i

'

расходится,

и

стремится

к

я

если

ряд

J-Г.'

j- fj.

сходится. Но коэффициент

при

1 '

в

21х(-і)

равен

коэффициенту

при

4Л

в

іі(-і)

,

что

и доказывает

тео­

рему.

Проиллюстрируем теоремы

на примерах.

I .

В задаче

о

колебаниях

слабохарактерного

человека

мы име­

ли достоверное

периодическое

событие

с

периодом 2.

Так

как

'Jіг,

то

Р

= Уй . Из

i

-

J

мы видим,

что

0,

-

нечётно;

1,

-

четно,

и

значит.

tint

Upk

= i

= & • - $ - ;

в согласии с теоремой 4 .

2.

Рассмотрим испытания Бернулли.в

которых

вероятность

успеха равна

р

(а

вероятность неуспеха

равна

Cj- ) . Событие

â

-появление серии успехов

длины

2

. Пусть

^п.

означает

вероятность

наступления

события

S

на

II

-ом испытании,

—

вероятность

того,

что первая

серия

успехов

.длины

t

появится при

/1

-ом испытании.

Поскольку

Д ? С . то

£

непериодическое

рекуррентное

событие. По определению

Uc

- 1 .

Очевидно,

~

142

-

tlL

-iL£ -

• •• -

iL2-L

~ 0-

(4)

Вероятность

того, что

2

испытаний

с

номерами

П-г

+ і,

П-

2 + £;

•'• ,

гг-і,

П-

приведут

каждое

к успеху^равна

. В этом

случае событие

8

произойдёт

при одном из этих

2

испытаниях. Может случаться, что

событие

à

произойдёт

на (fi -

-ом шаге

( к.

= 0 , 1 , . . . , 2-1), а

последующие

К событий будут успехами, вероятность такой ситуа­

ции равна

Un-а

РК

• Поскольку

эти

2

случаев составляют

пол­

ную группу

несовместимых подсобытий

события, состоящего в появле­

нии успехов

в

11-1+і

-ом,

п

+ £-?•

-ом;

п-і -ом,

Un

+

+-+U-n-z*iP3'i

= F*-

(5)

Умножим

равенство

(5) на і "~ и просуммируем

>1 =1,

ï+i,

1+2,...

Учитывая

(4) и что

іі0 = I , получим слева

( îL (І ) -

І ) ( ' l i р і+ р У V • • • + р * ' 1 І

2 • 1 )

,

а справа

Суммируя эти две геометрические прогрессии,

получим

і

-3

+ Ъ р * і г г і

(6)

им*

(±-і)(І-рг1*)

'

В силу (2)

Q$(i) =

Р---І

.

. (?)

i

- y

p-s +•

•••+/?г'хіг'1)

Непосредственной

выкладаой можно убедиться в том, что величина

'T'(l) конечна

' Г / • ) - 1 ~ І: г

t

- 143 -