Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 79

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

сходится. Положим

Y

= Uni

Un.

Рассуждая как ранее,

мы убеждаемся в том, что если fi? О и

 

 

 

Urn. UЛу

=у >

 

 

 

 

у-* оо

 

 

 

 

то при любом целом индексе

 

 

 

 

Так как

мы предположили,

что

ряд

 

 

 

 

 

2

п

к

 

 

 

 

 

 

п-і

 

 

 

 

 

сходится, то

имеет

место

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

2С

+

 

= Ц

л Д

?

и значит при достаточно больших

j

/

 

Тан как

UL

і 1

, то из формулы

(3) с

Л "Л-у . имзѳм

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.г

# я

 

- ^ -- ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходя

к пределу

Л' "^"

, полупим

 

Um lLfL ^ (і - É.)P

Теперь,бзря £-*C ^случаем

ttm. It,i -

- 131 -

Итак, теорема

доказана, если

Д

> 0 • Пусть

-ft - Û •

Рассмотрим

множество

тех значений ty

,

для которых

f-j_> О •

По условию

общий наибольший делитель

всех элементов

этого множест­

ва рввен единице. Из этого множества индексов можно выделить конеч­

ное

подмножество, обладающее

таким же свойством. В самом деле,

пусть J,0

У і

наименьший

индекс,

 

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/,.

 

>0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложил

/.

на простые

множители

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J-ç-Pi

 

- Л

-

 

 

 

 

 

 

Предположение,

что все номера

у

 

,

для которых

> 0 ,

делятся

на

р і

 

,

невозможно,

значит,

существует наименьшее^такое,

 

что

f

I

>0

,но

j , L

не делится

 

на

р±

. Аналогично есть

наи­

м е н ь ш е е ^

такое, что /j.s^0

 

 

,

для которого

J.^

не

делится

на

рг

 

. Наконец, имеется j ,і

такое, что fyfO

и

р± ^ j 1 6 .

Множество РШДОКСОВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

'

h

 

» h 1

"" 'У>

 

 

 

 

 

и есть

требуемое множество.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из ранее

приврдённых

рассуждений

следует, что если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[и

11 Un,

- Uni

il m,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{• -*-с~-)

 

^

П) -У іѵ»

}

 

 

 

 

то при любом

I

= 0,1,2, . . .

 

,

-4

и любом неотрицательном це ­

лом

XI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Um

IL a -xt ii

~ t-un-

iïn .

 

 

 

 

Но отсюда

следует, что при любых фиксированных

неотрицательных це­

лых

у,„ ,

Х х

 

 

Xs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim,

IL,

_v

 

,•

 

 

x .

= tun

U , b .

(

5

)

Теперь

нам надо

воспользоваться

некоторыми

рассуждениями,

относя­

щимися к теории чисел. Пусть натуральные числа

j . . r

,

^ {

,

••.•j.s

тлеют общий наибольший делитель, равный I . Рассмотрим м;га*пптво '

всех чисел

представимых в Биде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XcJ-c

+Хф

 

<

 

 

ь л ^ . ,

 

 

 

 

 

 

- 132 -

с любыми целыми Хо

X І • Е с л и 11 Ç

и / і ?7l

, то

а-& С- Ж .

Далее, если

CL G

fyZ

и

К

любое целое, то П.. -к

£ 77Z

. Обозна­

чим наименьшее положительное число, содержащееся в

7?Z ,

через ^

Докажем, что

CJ,

делит

все

элементы

37Х

. В самом деле, если

Cl G 7TL

и h

не

делится на

,

то, деля

на

с

остатком, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a --ft

*г{

,с<

zL

<>.

 

Но в силу того, что CL £

73I и

£

,

^ ,

£

, что

противоречит определению

.

К «^?-

, очевидно,

принадлежат'

т . е .

по

условию

на

числа

^

 

'

j-i

'

i s

><•}'-

!•

Поскольку число

I

принадлежит

к

УЦ

, то

t$%.

совпадает

со

всем

натуральным

рядом, т . е . в виде

 

 

 

 

с целыми

А0

,

X£

, . . . ,

У,

представимо

всякое целое число К .

 

Докажем,

что

если

 

O

f

J

' і.) у с

.... j , ^ , TOB представ­

лении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно взять

 

X„

,

x t

, . . . .

X j

 

неотрицательными. Установим это

для

i -

P.

;

из

доказательства станет

ясным; как установить

теорему

и в

общем случае.

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К -

X,

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-,. JA-

 

, J-è- =

J L

 

 

Так

как

(

<: {d

\

< L

для

любого

числа

,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

133

-

 

 

 

Введём целые числа

 

 

 

t

=

Х„

li­

 

t = +

 

to'--

Xt

ehо }-i

Очевидно, что

 

Далее

 

Xi

 

Отсвда

 

К =

-kj>itt>ot

Очевидно,

мы построили

нужное представление.

Теперь

из формулы (5)

мы заключаем, что при К ?(^i-)Ji--J^j

 

lim,

Ii п. ц ~ tun

- 134 -

Применим соотношение (3) к номерам

получим

 

+"

L i a , , - ( v u ^ . . . j i - j v ;

отсюда

 

i 1 /н.

Это доказывает теорему в случае расходящегося ряда

ПуСТЬ РЯД

со

 

 

 

сходится.

Тогда

 

 

 

если /с ä

(4-+l)j0 .

.

Повторяя

рассуждения с

мы завершаем доказательство

теоремы.

 

Теорему о свертках

мы назвали

тауберовой. Возможно, что вто

некоторая натяжка. Приведём объяснение. Тауберову теорему Литтлвуда можно сформулировать следующим образом: если

 

 

 

 

Ьк

=

5п

-

(П - i) Sn-i

 

 

{.*)

и

Citl—

0(k)

,

то из

Sn.-*Cl следует, что

Q,K-*

S

• Равен­

ством

(*)

последовательность

определена

через

последова­

тельность

8Я

. Равенством

( I )

последовательность UtL

 

определена

через

последовательность

fK

.

В теореме Лнттлвуда по

свойствам

последовательности

S a

устанавливают

свойство

последовательности

 

СІІѴ

 

, в

теореме о

свертках по

свойствам

последовательнос­

ти

 

 

устанавливают

свойство

последовательности

Ык

- 135 -

Смотрите также файлы