Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 254
Скачиваний: 1
-98-
§3 . Системы нелинейных уравнений.
Вэтом параграфе мы вернемся к рассмотрению произвольных нормальных систем вида
dx
|
|
*jJLs&Qtty,,fa. |
|
• |
fa) |
|
|
|
(О |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
! [ х , |
у, |
fa. |
..fa) |
|
|
|
|
|
|
В §I мы показали, |
что любая |
система канонических уравне |
|||||||||
ний |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
li |
= h\*>y<.l>•• |
> У> |
|
>fat"j-~ |
fa |
J |
|||||
|
|
і'і,-г, |
|
• |
п. |
|
|
|
|
|
|
|
приводится к некоторой нормальной система |
вида |
( I ) . В атом |
||||||||||
параграфе мы укажем один |
метод, |
который в некоторых |
случаях |
|||||||||
дает |
возможность свести |
решение |
нормальной |
системы вида |
(1) |
|||||||
к решению одного дифференциального уравнения |
Л- -го |
порядка. |
||||||||||
|
Продемонстрируем |
атот |
метод |
на примере системы |
3-х урав |
|||||||
нений |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Jil |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
fa |
(x)jfe |
(У) |
- некоторое решение |
системы ( 2 ) . |
|||
Подставляя |
зти функции |
в |
( 2 ) , мы получим тождества. Продиф |
|||||
ференцируем |
по X |
тождество |
(2^), |
считая, что функция ^ / |
||||
имеет частные производные |
первого |
порядка по всем |
аргументам. |
|||||
Пожучим тождество |
. . |
|
|
|
АХ, |
aJ, рЦі |
|
|
|
|
|
г\4. |
|
||||
(з)
Подставляя |
седа вначения |
ffei |
|
4Ї1 |
°LlL |
из тождеств ( 2 ) , |
|
|||||||||
видимі что правая часть |
(3) оказывается некоторой |
иввестной |
|
|||||||||||||
функцией |
ОТ |
Л, І/с, |
|
% г. , |
р |
|
И,.0б08НВЧИВ ЄЄ Черев |
F, С",Д |
# ) |
|||||||
получим |
тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дифференцируя |
теперь |
тождество |
(4) |
по |
х |
(если функция J-t |
|
|||||||||
имеет частные |
производные „второго |
порядка, |
то |
Ft |
имеет чест |
|
||||||||||
ные проивводные первого |
порядка) |
и подставлял |
в полученное |
|
||||||||||||
выражение |
вначения |
|
|
|
|
4Ї1 |
|
ив тождеств |
( 8 ) , |
|
||||||
аналогично |
предыдущему получим |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
СІХ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
теперь из |
|
трех |
уравнений |
( 8 , ) , (4) и |
(Б) |
можно каким- |
|
||||||||
нибудь обравон |
исключить |
ул |
и |
^ |
, то мы получим |
некоторое |
|
|||||||||
тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
' |
' J |
СІХ >. с/х1 |
|
cJr3 |
J . |
} |
|
{ Ь |
) |
||
связывающее |
переменные |
X, |
|
, |
|
, |
<^f%- |
|
|
|
||||||
Такое исключение можно произвести, |
например, .если |
уравнения |
|
|||||||||||||
121 ) и (4) равревимы относительно |
|
и |
Уз . |
|
|
|
||||||||||
Допустим, |
что мы навли |
Ул. и |
Уз |
ив уравнений |
( 8 £ |
) |
и (4> » |
|
||||||||
виде следующих |
выражений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,9*); |
|
|
|
|
|
|
Подставляя ати выражения в уравнение |
(S) , |
подучим |
|
|
|
|||||||||||
Тем самым функция |
^,-у^) «сть реженив дифференциального |
|
||||||||||||||
уравнения |
третьего |
порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Можно |
показать, |
что |
если найти решение |
j/i'c/'fx) |
|
уравнения (8) |
|||
и, подставив |
в правые части формул ( 7 ) , |
найти |
faf*)* |
||||||
tfz |
£ х ) |
, то |
вта тройка функций будет |
решением |
системы |
(2).. |
|||
|
Итак, |
если |
возможно разрешить уравнения (2t |
) |
и (4) |
отно |
|||
сительно |
и |
Уз |
, то решение системы (8) |
сводятся к реше |
|||||
ние одного уравнений (8) третьего порядка и к нахождению функ
ций |
й |
& по |
формулам |
|
(7) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
указанный |
процесс |
нельзя |
применить |
к |
уравнению- (2 ±h |
|||||||
то стараются применить его либо к уравнению |
(3 4 |
) , либо |
к урав |
||||||||||
нению (9 з ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример, |
Решить |
систему |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
d9 _ |
|
и |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7І- |
{ |
|
г~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
у-х |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя |
уравнение |
|
(9 4 |
) |
по |
X , |
получим |
|
|
||||
|
|
= |
?£т>*" Ф*7 |
**** |
• |
|
|
|
( ' 0 ) |
||||
Подставляя |
|
|
яв уравнения |
( о А |
) |
в |
(10), найдем, |
что |
|||||
Исключим функцию у |
ма уравнений ( I ! ) я (9А |
У, |
На (9 4 |
) |
имеем |
||||||||
Подставляя ато в |
получав, уравненяя |
для |
ияхождевня ФУНК |
||||||||||
ЦІЯ *
, |
|
|
|
|
|
|
- tot |
- |
|
|
|
|
|
Полагая |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
О*} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ji |
применяя |
К уравнению (13) |
известный |
прием |
понижения |
порядка, |
|||||||
[«йдем, |
« о |
|
, ? |
|
^ |
|
|
|
^ |
g |
|
• |
|
Юдстввлая |
ё.' |
й |
г * |
из |
(14) |
и (15) |
в уравнений ( І З ) , |
получим |
|||||
|
|
|
|
|
|
" |
of* |
|
|
-г • |
|
|
|
|тсюда, |
сокращая |
на |
|
to |
, |
найдем |
|
|
|
||||
Н |
евидно, |
• и-ф |
о |
t |
ибо вали |
Ъс-ъ'-о |
t to |
ив уравнения |
|||||
X ) находим |
-^J |
|
|
что |
невовможно). |
|
|
||||||
Решая |
уравнение |
(16) |
с |
разделяющимися: перамейнынй> иолу» |
|||||||||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
г |
» |
|
|
• |
. |
|
|
|
|| |
(14) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
?кудя |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й8 (17)
