Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

Я единственности:

Теорема

2,

Если функция

^(">Ю

непрерывна

в

области

S>

' • имеет

в

непрерывную

частную

производную

, то

при

любых

-X»

и

У*

, для

которых

ytSo (у>,ftJ с-2)

,

сущест­

вует

единственное

решение

уравнения

(1),

удовлетворяющее

начальному

условию ( 2 ) .

Иными словами, при выполнении условий теоремы

2.

,

черев

каждую точку

«л^; ^

> у ^ 2)

проходит

одна

и

только

одна

интег­

ральная

кривая

уравнения

( ! ) .

Теоремы

I

и 2 мы в нашем курсе не докавываем»

Пусть

теперь

функция

у - <{(*)

представляет

собой

неко­

торое решение уравнения ( I ) в интервале

CL<X*€.

Определение

I . Решение

у- <f(/j

уравнения

( I )

будем

навывать

его

частным решением,

если

на

интегральной

кривой

у- f(t) найдется

хотя бы одна

такая

точка

tAt

,

в

некоторой

окрестности

которой

рассматриваемое

решение

у ^ у д - у

явля­

ется

единственным

решением

уравнения

( О ,

проходящим черев

ету

точку.

; .

•

Определение

2 . Решение

у =

уравнения

(1)

будем

точки

UL

,

лежащей

на интегральной кривой

у ^ у у у /

,

найдется решение уравнения (I)f

отличное от

рассматриваемого

• проходящее

черев точку

.

Ив данных определений следует, что любое решение урав­

нения

( і ) будет либо

частным,

либо особым,

и что если в неко­

торой

области

ob

для уравнения ( I ) выполняются

условия

теоремы 2,

то

любое

решение уравнения ( I ) ,

лежащее

в области

, является его частным решением.

Очевидно также, что во всех точках любого особого реше­

ния уравнения

( I ) нарушается единственность, т . е .

черва

любую

точку, лежащую на особом решении, проходит не менее двух

интегральных

кривых

уравнения

(1).

Определение 3.

Точку ы&О f/o„y.) , принадлежащую интег-

радьной кривой

уравнения

( I ) ,

будем

навивать

точ ­

кой единственности

решения

у - ffy

,

если в

некоторой

окрест­

ности этой

точки решение

y-fd)

.является

единственным

решением уравнения

(1),

проходящим

черед

точку

<^SQ .

Определение 4.

Функцию

у^оо(х^с)

.

(з)

будем называть общим решением уравнения

(1),

если

она

удов­

летворяет

следующим

двум

требованиям;

1)

при

любом

значении

\ параметра

С

(при

котором

с)

вещественна), (функция!

(8)

удовлетворяет

уравнению

(1);

2"? всякое

частное

решение

уравнения ( I ) в некоторой окрестности любой своей точки

единст­

венности

представимо в виде

функции

единст-

венным обравом ( т . е . может быть ввписано в виде (8) при опре­

деленном значении

параметра__С_),

Замечания. J .

Условие 2) определения 4 при вылолнени»

условия I )

вквивалентно

следующему:

8) для,всякой точки единст-

венности/^^решения

среди

р"ешвні:Я"уравненияіо(&Є>^о~суцесУв'уех

единственное

решение Со- С\.х»,^о) ,

для которого в

некоторой

окрестности

точки JJo

Действительно, очевидно,

что

la условия 8) сраау следу­

ет выполнение уолови* 2 ) .

Если же

выполняется

условие

г ) , то

существует единственное эндчение

С -С

гаков,

что в

неко­

торой окрестности точки

іМо

имеет

МСТО

(4).

V>i**.t]~X° И М 8 Л 0 Рвгаение С'+Со

,

для которого

fysUbtf.C*)

, то

это противоречило бы условию

2) .

<

'

ТТ.

Нетрудно видеть,

что всякое

решение у* У(х)

уравне­

ния

(1),

которое не может быть получено ив его общего

реие -

ния

(8) ни при какой (постоянном)

значении

параметра

С ,

является

особым решением данного

дифференциального

уравнения.

Действительно,

если

бы это было

не так, то на

решении

у *

^(*)

нашлась

бы хоть

одни

точка

единственности

в окрестности

которой

yY*;» и> (*,€*),

(где^ С* -

единст­

венный корень

уравнения

со(/^с

) =/» ) , что противоречит

на нему предположению.

Рассмотрим

теперь пример,

иллюстрирующий все

определения

і теоремы

етого

параграфе.

.

чая ось

#У :

у £ о

. В

рассматриваемом олучае

уравнение

(5) есть

частный

случай

уравнения

( I ) , где функція

/ Л л 1 - ^ '

непрерывна во всей області

у * о

4 Функция же

Щ-

pj-