Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 255
Скачиваний: 1
Определитель системы (10) может отличаться от Р(£>) равве лавь знаком (последнее будет иметь место, если произойдут вамены строк, вызванные перегруппировкой уравнений). Применяя выпеука—
ванный |
прием к |
последним |
двум уравнениям системы -(10), |
добьем |
|||
ся |
т о г о , |
что |
в |
одном из «тих уравнений исчезнет |
член с |
одно! |
|
яв |
функций, |
например |
. В результате итого |
мы и придем к . |
|||
некоторой диагональной системе вида |
|
|
|||||
|
|
|
|
< Л » £ + |
%х(Щх+ *чС*>)&~ |
W |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
аквивадентвой системе |
( б ) , и с |
определителем, |
отличающимся |
||||||||||
от F[fb) |
равве |
лишь |
ізнаком. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Но определитель системы (11).равен произведению диагональных |
|||||||||||||
ковффициеытов |
% |
(*>)&'(Я>), |
|
|
Г » ) |
, |
а |
потому |
|
||||
Так как |
p(SbJ$0 |
, |
то |
ни один |
из |
многочленов |
|
¥и |
%л[Л>)^ Чзз(ъ) |
||||
не равен |
нулю тождественно. Теорема |
полностью |
доказана. |
||||||||||
Покажем теперь, что нава теорема справедлива для любой |
|||||||||||||
нормальной |
снотемы с |
постоянными |
коаффяцаентемя вида ( 1 ) . |
||||||||||
Для итого |
достаточно |
убедиться |
в |
том, что |
определитель система |
||||||||
( 1 ) , записанной |
при |
помощи символа |
Я) |
, |
не |
равен |
тождест |
||||||
венно нулю. Убедимся а атом на |
примере |
М |
-3. |
|
|||||||||
Система |
( I ) при |
л = І имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ваписывад эту систему оря помощи символа % , получим
Н<у+'Qu.fr* 1*>*ь*)Ь*№*) J .
Определитель итой |
|
системы |
|
F(&) |
, |
как |
нетрудно |
видеть, |
имеет |
|||||||||
|
|
|
|
|
"8>+а., |
flw |
в,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4і, |
|
|
Oil |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q3l |
аіг. 9>t<*ss |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и представляет |
собой і относительно |
9) |
многочлен |
третьей |
с т е |
|||||||||||||
пени с коэффициентом при старшем члене, равном I . |
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, |
F{&)- |
§) •+• |
|
, |
что |
и требовалось |
довевать . |
|||||||||||
Для |
произвольного |
|
п- |
доказательство |
проводится |
|
аналогично. |
|||||||||||
Итак, любую нормальную систему дифференциальных уравнений о |
||||||||||||||||||
постоянными коэффициентани можно привести к |
эквивалентной |
сис |
||||||||||||||||
теме |
диагонального |
вида. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Замечание |
I . Указанный |
метод |
интегрирования |
|
линейных |
с и с |
|||||||||||
тем |
(3) |
применим, |
|
очевидно, |
в тех |
случаях, |
когда |
|
функции |
|
||||||||
|
|
, • •• |
|
|
|
достаточное |
число рав |
дифференцируемы. |
||||||||||
Как правило, во всех пракически важных случаях его условие |
||||||||||||||||||
выполняется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Замечание |
2 . |
|
Указанный |
прием |
не применим |
если |
полином |
||||||||||
р{£>) |
= О . Но в |
атом случае, |
как |
известно, |
ив |
алгебры, |
левые' |
|||||||||||
части некоторых |
к<п~ |
уравнений системы (4) |
являются линейными |
|||||||||||||||
комбинациями остальных. Поэтому и правые их |
части |
должны удов |
||||||||||||||||
летворять аналогичным соотношениям. В атом |
случае |
k. |
( |
fc* |
||||||||||||||
функций |
остаются |
произвольными, |
а |
остальные |
|
Л*-к |
|
выражап^ч |
||||||||||
определенным образом черев них. Для нахождения втих |
|
п^-к |
||||||||||||||||
функций |
получается |
л~к |
|
уравнений, |
определитель |
которых |
||||||||||||
Pi (&) |
отличен |
о» |
тождественного нуля. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример I ; |
Рассмотрим^ |
систему |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вявявем се при помощи символа |
^ |
в |
виде |
|
|
||||
Tax" вал |
g>*- / г (£>-н) (£>-/), |
т о , |
умножал обе |
части уравнения |
|||||
(12 ( ) ва / - 0 - О |
и вычитая |
ревультат на |
уравненил (12^), |
полу |
|||||
чай уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ф4/)2~0. |
|
|
|
|
|
|
(13) |
Следовательно, в силу доказанной теоремы, система |
(12) |
||||||||
»квавалентва диагональной |
системе |
вида |
|
|
|
||||
|
|
|
(JHI)*s° |
|
У |
|
U |
||
(уравнение |
( I 2 t ) |
оставляем |
бев |
ивменения, а |
уравнение |
(12^) |
|||
м полученным уравнением |
(IS)). |
|
|
|
|||||
Свстему (14) перепишем |
в |
виде |
|
|
|
||||
Так как последнее уравнение является линейным однородным ураанавзкм первого порядка, то по нввестной формуле находим
& |
|
|
• |
|
Подставляя |
в |
уравнение |
( 1 4 х ) , для у получаем |
линей- |
веодвородное |
уравнение |
|
|
|
которого, |
по |
нввестной |
формуле, ваписывается в |
виде |
- Є " ' (С, |
С, je"* |
V x J - €-Я(СЛ |
+ С, х) |
Таким обрааом, решение системы (12) имеет вид
г --
Пример 2. Рассмотрим нормальную линейную систему
Запишем ас ори помощи символа |
2> |
в вида |
|
|
||
Умножая уравнение ( I 5 t ) |
на |
/JOWJ |
и вкладывая с (15^ ),в»яу«шм |
|||
($+і)і'х |
- |
У? - о . |
•' - |
- |
<7«J |
|
Умножая далее уравнение |
(15 |
j ) |
на |
(8+<)і' |
в складывая • |
(16), |
получим |
|
, |
|
|
|
|
Следовательно, система (15) аквивалентва диагональной с »
(мы ааненили уравнение |
(15^ ) на |
П о ) , а ватам |
(16) |
- |
ян СІТІ, |
Перепишем систему (18) |
* обычных |
обозначениях. |
|
|
|
Так как |
|
* |
, |
_ |
• |
то система (18) аапвсышается следующим обрааом:
(ІЗ,)
cm
Характеристическое уравнение |
для уравнения |
) имеет вид |
|||||
в его ворни |
суті, |
А; о, |
КЛ = -3 , |
= ~3 . Поатому |
общее решение |
||
ураввеяи* (195 |
) |
имеет вид |
|
у |
|
||
2 |
°С, |
+Ь |
Є''*+ |
Є3ІЄ~**= |
С, t (Сл +Сії)ЄМ |
(АО) |
|
В сижу |
) |
и (20), . |
|
|
|
|
|
У |
г ^ . , у ? - С 3 |
Є - Л |
1 |
Ъ[СЛ +C3t)Q-3\4c, |
+ |
||
В евлу ШІ > * (21), |
" |
Ітиж, ревение системы (15) имеет вид
"ЗамаТаниеГ Приведение системы (15) к диагональному виду
можно произвести Также путем, отличным от укаванного вами.
В ревультате получатся уравнения, решения которых будут запи сываться е другим распределением постоянных. Но после замены едиой группы постоянных другой всегда можно иа одной формы ревения получить другую.
Пример 8. Докавать ари помощи приведения в диагональному
виду, что система
+ * = о
dt |
dt |
V |
I |
r j 3 s |
T P |
- Л * d t |
д |
|
|
имеет только нулевое |
решение. |
|
|
|
Запишем>систему |
(23) |
при помощи |
символа 2> |
в виде |
Умножая |
уравнение |
(28, |
) на |
® |
а |
вычитая ив |
(23 г |
) , |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
система |
(23) |
эквивалентна системе |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
у |
-t у |
|
= О |
|
і |
|
fa) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ив последнего |
уравнения |
находим, |
что |
|
|
» * тогда, |
под |
||||||
ставляя |
его значение |
в первое уравнение, получим |
|
|
|||||||||
|
|
|
&)Х+ |
(&•*!) |
(-Х) |
= |
о, |
|
|
|
|
||
|
|
|
ott |
~ |
dt " * ' |
°> |
|
|
|
|
|
||
откуда |
Л.= 0 |
t |
щ следовательно, |
|
и |
У - ° |
. |
|
|
||||
Таким обравом, |
система |
(23) |
|
имеет |
единственное |
нулевое |
|||||||
решение |
|
х |
- 0} |
у |
- О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
\
