Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 288
Скачиваний: 1
СЗ) не |
. |
|
Следовательно, |
системы |
(3) и (5) эквивалентны. |
Итак решение любой |
каноническо.1 системы уравнений вида (1 0 ) |
|
сводится к решению некоторой эквивалентной-ей нормальной (системні вида ( 2 ) .
Так же, как и для одного дифференциального уравнения, для нор мальной системы (2) ставится вадача Коши: на некотором проме
жутке |
|
|
|
найти решение системы ( 2 ) , удовлетворяющее следую |
|||||||||||||||||
щим начальным |
условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
X. |
е |
|
, |
a |
yf°\ |
|
|
|
.. 7 |
y / O J |
- |
вада иные числа. |
|
|
||||||
Пусть |
для системы |
уравнений |
|
(2) |
функции |
/ t |
( y |
j |
LJ'> |
• |
• |
$») |
|
||||||||
( ( ' - |
|
••• я |
) |
определены |
в |
некоторой области |
|
пространства |
|||||||||||||
(»•*') |
- го |
ивмзрения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Имеет |
место |
следующая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема |
существования |
и единственности |
решения |
задачи (2), Сб). |
|||||||||||||||||
Если функции |
ft- |
(('xfjZ,.-. |
|
|
и |
их |
частные |
проиэводные |
вида |
|
|||||||||||
'-Jі |
|
, 3 • - - j ХН |
|
непрерывны |
(по |
совокупности |
своих |
apry- |
|||||||||||||
fi?' |
<>$г |
|
|
»jn. |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
—•—— |
|
|
7^.- |
|||
ментов) |
в области |
g) |
|
, то |
для |
любых |
чисел |
yj |
\ уь |
°J} .. |
|
у„ |
1 |
||||||||
для которых |
точка |
JJ0 (•>(<>, yf"\ yl*\ - •• ^'/")'є- 2) |
, |
существует |
|||||||||||||||||
единственное решение системы ( 2 ) , Удовлетворяющее; начальным |
|
||||||||||||||||||||
условиям ( 6 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание, Так |
как |
|
уравнение |
/і |
-го |
порядка |
|
|
|
|
|||||||||||
у ^-JC^Vjt/y-j/ |
|
jecib |
|
частный случай |
канонической |
системы, |
то |
||||||||||||||
его всегда можно привести к эквивалентной нормальной системе |
|
||||||||||||||||||||
уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
§2,.Системы |
линейных |
дифференциальных |
уравнений |
с |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
постоянными |
коэффициентами. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Система дифференциальных уравнений.называется линейной, |
|
|||||||||||||||||||
если |
все неизвестные |
функции |
и их |
производные |
входят в |
систему |
|||||||||||||||
в цервой степени. Особенно важное вначение в различных прило жениях анализа к технике, механике, физике и к другим наукам имеют системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Нормальная система линейных уравнений с постоянными коэф
фициентами имеет следующий вид:
V ;
І
В дальнейшем мы рассмотрим произвольную систему линейных урав нений любого порядка с постоянными коэффициентами и укажем простой метод нахождения всех решений такой системы.
Для атого введем следующее обозначение для операциа дифферен цирования:
а дяя |
всех |
п » 4,3,. • • примем |
||
Тогда |
|
|
|
|
і аналогично |
для |
производной |
любого порядка и. ПОЛУЧИМ |
|
Легко |
видеть, |
что |
умножение |
различных степеней оператора 2> |
производится по обычному правилу умножения степеней о равными основаниями (покаватели степеней складываются).
Действительно, к
Sb 3> |
^jpul |
cf^J\ |
d / 1 ^ ' |
т . е . |
|
(фоне того, очевидно, что для любых целых /я- и |
спра |
ведливо следующее равенство: |
|
Рассмотрим теперь проиввольную линейную дифференциальную операцию некоторого порядка h, с постоянными хоеффициентаии
Эту операцию при помощи символа £) можно ааписать в виде
|
= л |
2> у+а, |
• • • t&-, |
2)^ -f Ому |
ЯЛИ, вынося |
^ |
формально |
ва скобку, |
вапинем |
/(yj |
* (а. Я>'+а. |
2>*'+•••***. |
||
Таким обравом, всякая линейная дифференциальная операция ~£(i) вапнсываетса символически в виде произведения некоторого
многочлена
на функцию % |
, |
, |
В силу формул |
(2) |
я (8) два таких символических многочлена |
іперемножаются по правилу умножения алгеб
раических многочленов) при атом многочлен |
реали- |
вует действие линейной операции |
, так как если |
то
Польауясь символическими многочленами от £9 , любую систему линейных уравнений произвольного порядка с постоянными коаффициентами ыожно представить в в виде
где. ^tfc (£>) Л і к - L- • • л] - некоторые многочлены с постоянными ковффициентами, при помощи которых ваписаны линейные операции,
действующие над искомыми |
функциями |
у к (к-=-ЪЛ1-- |
*) • |
Теорема. Если определитель |
|
|
|
h,(*) |
Jute) |
|
|
( рассматриваемы!!, как многонлен вещественно^- переменной |
) , |
то система (4) эквивалентна некоторой диагональной системе |
вида |
(У)
где |
все диагональные |
многочлены %(&) |
Члл №Ъ |
, |
|
не |
равны тождественно |
нулю. |
|
|
|
|
Заметим, что решение системы (5) сводится в последователь»» |
||||
ному решению tu |
линейных дифференциальных уравнений с пос |
||||
тоянными ковффициентами, а именно} решив последнее уравнение |
|||||
содержащее только |
ук |
, переходят к предпоследнему |
уравнению. |
||
куда |
подставляется известная |
уже функция |
$ц. и |
т . д . |
|
|
|
|||||||||
Наконец, |
для нахокдения |
yt |
решается |
уравнение |
|
|
|
|
||||||||
|
& (*» Уг |
|
|
|
|
|
|
(*>) У», |
|
|
|
|
||||
где все функции, стоящие в правой части, уже найдены |
(сы. |
прі |
||||||||||||||
.мер |
на |
стр . |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
теоремы |
проведем |
для |
случая |
Л = 3 |
t |
в |
||||||||
общем случае |
оно проводится аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Рассмотрим |
систему трех |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(*>)У*Чл* №%л + |
|
|
|
= |
|
faj |
|
||||
|
|
|
|
h, |
(я»у, т Ы |
* JJS |
(*>) У* |
= У* (*) |
|
fa) |
||||||
0о'о8начим через |
р |
степень |
многочлена |
fAl |
(&>) , а |
через |
|
|||||||||
%• |
- |
степень многочлена |
/з, {X)) |
, |
Допустим, |
что |
# - * / ° - |
|||||||||
Тогда, |
равделив |
-fsi |
№) |
на |
j<a,(£>) |
(как |
многочлен |
на |
мно |
|||||||
гочлен), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ТГрг'1^* |
|
*.(*)> |
|
|
|
|
|
|
||||
где |
остаток |
(pt(Z>) |
имеет, |
очевидно, |
степень |
< |
р. |
|
|
|||||||
Отсюда |
|
(s>) = R (я» |
С&) •<• Q, (*>Х |
|
|
|
(\ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Умножим теперь обе части уравнения |
( б 4 ) |
на |
|
и получен |
||||||||||||
ный результат вычтем почленно из уравнения |
( б 5 ) . |
В силу |
|
(?) |
||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
Ш |
(*>) - ?№&3 |
ш№* |
|
|
(х)- |
^ { 1 ь И |
л i x |
) |
|
||||
Обозначая теперь
ваменам в системе (б) |
уравнение |
(63) полученным |
уравнением |
||||||
(8) и вместо системы (б) рассмотрим систему |
|
|
|
|
|||||
|
(Щ, |
+ 4,л (*>)уЛ - /< з |
= /1 |
Ы |
) |
||||
|
Q, My, |
* h\ |
(*» h |
* У/з |
(Я) Уз - |
|
|
] |
, . |
Системы (6) и (9) эквивалентны, ибо одна ив другой полу |
|||||||||
чаются при |
помощи дифференцирования |
(умножения |
на |
многочлен |
|||||
и вычитания |
или сложения,- |
а такие операции, |
как |
иввестно, сох |
|||||
раняют тождества. Определитель системы (9) получается ив опре
делителя р(£>) следующим обравом: третья |
строка в |
/ т ^ і з а м е |
няется ревультатом вычитания ив каждого ее |
елемента |
соответ |
ствующих элементов второй строки, помноженных на один и тот же
множитель |
|
|
Следовательно, |
определитель |
системы |
(9) |
|
|||||||
совпадает |
с |
Р(£>) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так |
как |
степень |
/я>] |
равна |
числу |
fa |
, |
причем |
fa |
*/? |
|||
(где |
р |
-степень 4ІІ (%>) ) , то |
к последним |
двум |
уравнениям |
|||||||||
системы (9) |
применим |
вышеуказанный прием. Поступая аналогично, |
||||||||||||
череа |
конечное |
число |
шагов |
добьемся т о г о , |
что |
в |
одном |
ив |
двух |
|||||
последних уравнений системы (6) исчевнет член |
с |
У* |
и система |
|||||||||||
(б) ааменится эквивалентной системой, в одном иа уравнений |
||||||||||||||
которой будет |
отсутствовать' |
¥t |
• |
|
|
|
|
|
|
|
||||
После |
этого |
аналогичным приемом добьемся |
того, |
|
что |
в |
одном |
|||||||
на двух оставшихся уравнений тоже |
исчевнет |
}jt |
|
и система |
(0) |
|||||||||
ааменится |
некоторой |
эквивалентной |
ей системой |
вида |
|
|
|
|||||||
£>) у* * |
н - £*ъ \ 04 |