Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 41
Скачиваний: 0
|
|
|
- |
16 - |
|
|
|
2» |
F |
не |
зависит от |
ty' |
, т . е . |
F = F |
|
Уравнение |
Эйлера получает |
вид: • |
|
|
|||
т . е . получаем |
алгебраическое |
уравнение, |
а не |
дифференциальное. |
|||
Это уравнение |
не'содержит |
каких-либо постоянных, подлежащих |
|||||
определению из граничных условий, поэтому, вообще говоря, экстремали нет. Решение не существует, функционал называется
выррядешшм. Например, |
минимум функционала / уго/х. |
достигается |
|||||||||||||
на кривой |
у- |
О |
с Если требуется, |
чтобы кривая проходила |
че |
||||||||||
рез конечные точки, то экстремаль не существует в классе не |
|||||||||||||||
прерывных |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Замечание. |
Тот se |
вывод имеет место |
и для |
функционалов |
||||||||||
линейно эазисящих |
от у' |
, т . е . имеющих вид |
F-FifajffâfcyJy'. |
||||||||||||
В этом |
случае |
уравнение Эйлера выроадается в алгебраическое |
|
||||||||||||
а, |
следовательно,- |
экстремаль, |
в общем случае, не существу |
|
|||||||||||
ет. |
Заметам, что*функционал |
ч этом |
случае |
также |
называется |
|
|||||||||
выровдеяным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
F |
зависит |
лишь от |
у' |
, |
т . е . |
F - FCtf'J |
|
|
|
|
||||
В атом |
случае |
Fy - О |
и уравнение |
Эйлера имеет |
вид |
|
|
||||||||
откуда либо у "s о |
, либо F^y |
- О |
. Вели |
у |
"= О , |
ю у= |
c,x'Q |
||||||||
т.е,. получается |
семейство прямых. Если же /^у,(^'/:Р |
имеет |
|||||||||||||
один или несколько |
вещественных корней tj'- |
KL |
, |
т о у . - ^ я г / с . |
|||||||||||
Таким образом, |
|
в случае F- Р(у') экстремалями являются прямые |
|||||||||||||
ЛЗШШа. |
|
|
|
X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Например, ££у] |
|
- fvWy'/ofoдлина кривой соединяющей точки |
|
||||||||||||
(х„ |
у.) |
(x,,W/) |
|
Экстремалью |
, очевидно, является |
прямая. |
|
||||||||
- 17 -
Другие частные случаи уравнения Эйлера мы не будем рассмат ривать т.к. они особого интереса не представляют.
Сделаем несколько замечаний.
1. Таіс как каждый сколь-угодно малый яусок экстремали' удовлетворяет уравнению Эйлера, то любая часть экстремали есть тоже экстремаль. Обратное утверждение неверно: кривая, составленная из кусков экстремали, может в целом и не до ставлять 3Jтремума.
2. |
К. развернутого уравнения Эйлера, вытекает форму |
ла для |
и" |
Для невырожденных функционалов F^y 0 , поэтому экстре маль невырожденного функционала всегда является гладкой функцией, имеющей непрерывную вторую производную. Правда, возможны изломы в отдельных точках. Это особые точки.
3.Уравнение Эйлера является лишь необходимым, но не
достаточным условием |
экстремума. Экстремали могуа |
иног |
||
да не доставлять экстремума функционалу, |
подобно |
тому как |
в |
|
|
дифференциальном исчислении |
точ |
||
|
ки, где дифференциал |
обращается |
||
|
в нуль, могут и не бить экстре |
|||
|
мальными, а |
являться, например," |
||
I |
точками перегиба (т . ^«) . (Рис„7) |
|||
х0
Рис.?
5; Условие Деяіандра.
Для того, чтобы |
была экстремалью |
функционала |
|
|
I |
Гоо. гг'б"ччная |
Г |
|
I |
наѵ;:но-.лхгінч .схая |
I . |
3[}f(~)] необходимо, чтобы кроме уравнения Эйлера удовлетво рялось еще одно условие - условие Лекандра. Ото условие, кроме того, поззсляет различать глаксимум и минимум.
Вернемся к выражению приращения функционала.
Ù7УС*, = J^'F(х,и tdJy^'+Afy'Mx |
- } Х 'F(x,y,y'Jctx. |
||||
Обозначим |
у. +ddy. -y(x,J.) |
и у '+<<ty'=gr(x, * J. |
|||
Разложим |
à J •• </(*. j в ряд Тейлора по степеням oL |
||||
|
у a ; , |
d 4 C c i ) |
-J * D |
^ • |
|
A J" |
ЬЫ/ - |
-ТТ. |
|
|
|
«g у fry |
J4 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где cU/^'o ~ - вариация функционала, точнее, первая вариадиягѵтѵ- -à''3" вторая вариация функционала.
Таким образом, приращение функционала можно записать в виде
Если функционал £ S |
на кривойyfajдостигает |
экстремума, то |
||
cfJtOx при достаточно малом d |
знак л Э совпадает |
со злаком |
||
второй вариации <feJ |
(последующие члены разложения |
имеют более |
||
высокий порядок малости). |
|
|
|
|
Отсюда следует, что если функционал на кривой y(xJ |
достигает |
|||
минимума, то (Р*3&0 ,т,к . всякое отклонение |
от минимума - по |
|||
ложительно. Для максимума необходимо условие |
d£ У £ О , т.к. • |
|||
всякое отклонение от максимума - |
отрицательно. |
|
||
Найдем йырзггкзе |
дхя sä-öSuu вариации cT*J |
. Имеем: |
||
et ѵы; • |
|
|
|
|
|
|
|
- |
19 - |
|
|
Ирис6= 0 вид |
этого |
выражения сохранится, |
т . к . ц(х,0 і ; у •. |
|||
у'[х,о) •• у |
- |
с/Ч |
Х-іц |
' поэтому |
|
|
Но ^ |
н 1 0 Z |
|
|
|||
Рассмотрим |
последний интеграл. Очевидно, |
2 Jy. £у 'cfx = <4(tyj, |
||||
поэтому |
X, |
|
|
X, |
|
|
X.
Такимп образом, выражение для второй вариации получает вид
где обозначено Р* Fyy' и Q * fyy .
Полученное выражение для второй вариации позволяет установить
характер её знака. |
|
|
В этом выражении |
- произвольная функция |
удовлетворяющая |
условию fy(Xc)-fy(x<)- |
О . Мы можем подобрать |
такую функцию, |
ч т о « / б ы л о мало, |
a (fy'J* - велико. Для |
этого'доста |
точно взять малую по абсолютной величине функцию, но быстро
меняющуюся. В атом случае знак ê*3 |
будет практически совпа |
|||
дать со знаком Q." Fyy |
|
|
|
|
Таким образом, мы приходим к следующему условию: |
|
|
||
Для того, чтобы кривая у(х)доставляла |
минимум функционалу |
|||
необходимо выполнение условия |
F^y 2-0 . |
|||
Для максимума функционала необходимо |
условие |
ïyy |
s О |
. |
Это условие называется условием Леаавдра. |
|
|
|
|
Условие Іенандра является необходимым но„вообще говоря, |
не |
|||
достаточным условием минимума шш максимума функционала, |
т . е . |
|||
могут существовать кривые, которые удовлетворяют |
уравнению |
|||
