Файл: Никитенко А.Г. Проектирование оптимальных электромагнитных механизмов.pdf

торой (или на ее границах) расположена экстремальная точка. Область допустимых значений переменных может быть одиосвязной либо состоящей из отдельных изоли­ рованных областей. Функция цели может иметь не один,

экстремальной и она заключается в определении гло­ бального (абсолютного) экстремума, т. е. наименьшего или наибольшего из всех значений функции в области допустимых значений переменных.

Применительно к электромагнитам переменные Хи Хъ ..., Хп могут представлять собой конструктивные параметры — высоту и толщину обмотки, радиуса сер­ дечника и полюсного наконечника, длину стопа и т. п. Оптимальные значения указанных параметров обеспечи­ вают экстремум критерию оптимальности—объему, мас­ се, стоимости электромагнита и т. п.

5. Характеристика методов оптимизации

Особенности определения эстремума функций вида (42) делают задачу нахождения оптимальных парамет­ ров электромагнита сложной, и для ее решения должен привлекаться метод, приводящий к цели с наименьшими затратами вычислительных средств и рабочего времени. Из большого количества методов, используемых для решения оптимальных задач различных классов, для це­ лей проектирования электромагнитов в принципе могут быть применены методы исключения зависимых пере­ менных, неопределенных множителей Лагранжа п нели­ нейного программирования. Различные методы можно сравнить, исходя из конкретного вида функций цели и ограничений, размерности задачи (количества перемен­ ных), по времени, затрачиваемому на подготовку про­ граммы для вычислительной машины, сложности про­ граммы, времени расчета варианта, требуемому объему «памяти» машины и т. п. С этой точки зрения опыт, на­ копленный различными проектными и исследовательски­ ми организациями при проектировании электромагнитов, должен сыграть важную роль в установлении наиболее экономичных методов.

Ниже показано применение некоторых из перечислен­ ных выше методов для решения конкретных задач опти­ мизации электромагнитов. Краткая характеристика от­ дельных методов приводится далее,

34

1. Исключение зависимых переменных

Предположим, имеется функция (42), экстремум ко­ торой необходимо определить. Переменные Х2і ...

..., Хп, могут быть связанными между собой k уравне­ ниями связи, с помощью которых можно исключить k переменных. При этом исключенные переменные будут выражены через оставшиеся п—k неизвестных. Примем для определенности, что исключены первые /е перемен­ ных. Определив частные производные функции f по не­ зависимым переменным и приравняв их нулю, получим систему уравнений

df (Хк+„ Хц+2, ■., Xn)/dXil+l — 0; d f(X k+l, X h+2, .... Xn)ldX,i+2 = 0;

df (Xk+l, Xtl+2, . . , X n)JdXn= 0.

Решением (45) можно найти значения переменных, обеспечивающих экстремум (42).

2.Метод неопределенных множителей Лагранжа

Вслучае, когда исключение зависимых переменных затруднено и на них наложены ограничения в виде ра­

венств (43), определяется экстремум функции Лагранжа

[Л. 36]:

И = / + 2 ХіЦі,

где Хі -— множители Лагранжа, величина которых опре­ деляется вместе с Хи Х2, ..., Хп.

Приравнивание нулю частных производных по пере­

менным дает систему уравнений

5

Уравнения (45а) вместе с s уравнениями ограниче­ ний позволяют определить n + s неизвестных (п — число переменных, s—число уравнений ограничений или число

л и н е й н о е и н е л и н е й н о е п р о г р а м м и р о в а н и е

Если функция цели линейна

f ( X u Х2...... Х п) = с 1Х і + с 2Х 2 + ... + с пХ п = % СіХі.

і=I

и ограничения заданы в виде линейных равенств

то определение экстремума функции цели представляет задачу линейного программирования. В случае нелиней­ ных функций цели и ограничений решение задач опти­ мизации относится к нелинейному программированию.

Каждый из указанных выше методов обладает спе­ цифическими особенностями, обусловливающими приме­ нение методов для определенного круга задач. Исключе­ ние зависимых переменных обычно применяется при от­ носительно простых аналитических выражениях частных производных функции по переменным. Решение системы (45) обеспечивает при этом лишь необходимые условия экстремума. Для того чтобы заключить, являются ли полученные значения экстремальными, их приходится дополнительно исследовать на достаточность.

Метод неопределенных множителей Лагранжа позво­ ляет определить условный (относительный) экстремум в случаях, когда исключение зависимых переменных вы­ зывает затруднения. При этом функции ограничения, как

икритерий оптимальности, должны быть непрерывными

ииметь первую и вторую производные. Размерность си­ стемы (45а) возрастает за счет неизвестных множителей Лагранжа по сравнению с (45), полученной при исклю-

36

чемии k неизвестных. При решении (45а) применяют те же приемы, что и при решении (45), причем здесь полу­ ченные значения переменных обеспечивают также необ­ ходимые, но недостаточные условия существования экстремума.

Как можно заключить нз предыдущего, характерис­ тики электромагнита находятся в сложной зависимости от геометрических размеров магнитопровода и обмотки. Поэтому критерии оптимальности и функции ограниче­ ний, которые часто задаются в виде равенств и не­ равенств, являются относительно сложными нелинейны­ ми функциями. Аналитические выражения производных функций цели и ограничений, необходимость определе­ ния которых возникает при поиске оптимума, делают систему получаемых при этом уравнений трудноразре­ шимой, а анализ полученных решений для установления существования и характера экстремума вызывает до­ полнительные усложнения.

Наиболее универсальными применительно к проекти­ рованию электромагнитов являются численные методы нелинейного программирования. Ниже рассмотрены не­ которые из них. При этом не ставится задача сравнения отдельных методов между собой, а излагается сущность методов, оказавшихся эффективными при решении кон­ кретных задач оптимального проектирования электро­ магнитов постоянного тока.

В большинстве случаев методы нелинейного програм­ мирования являются многошаговыми, построенными на движении в п-мерном пространстве переменных в на­ правлении оптимума. Из начального Ха{ либо из про­ межуточного состояния Xhi осуществляется переход в последующее состояние путем изменения каждой пе­

Поскольку движение к оптимуму происходит при дискретном изменении переменных, всегда существует вероятность пропуска оптимума, находящегося в доста­

37

точно узкой области допустимых значении параметров. Характеристики электромагнитов в сильной степени зависят от разброса размеров и других параметров эле­ ментов конструкции от номинальных значений за счет неточности изготовления (отклонение диаметра обмоточ­ ного провода, длины идиаметра сердечника ит. и.), а так­ же от изменения условий эксплуатации (отклонение ве­ личины питающего напряжения, изменение условий теп­ лоотдачи, колебания температуры и сопротивления обмотки н т. п.). В [Л. 34] на конкретном примере элек­ тромагнита с втяжным якорем показано, что при изме­

усилия может достигать нескольких десятков процентов номинального значения. Колебания тягового усилия за счет отклонения размеров при изготовлении также зна­ чительны. Кроме того, полученные при оптимизационном расчете параметры часто технически не могут быть реа­ лизованы (например, диаметр провода должен быть со­ гласован с существующим сортаментом). Иногда полу­ ченные при расчете значения размеров приходится изме­ нять из условий технологичности, механической проч­ ности конструкции и т. п.

Указанные выше, обстоятельства являются причиной того, что техническая реализация оптимумов, лежащих в узкой области допустимых значений параметров, не всегда возможна. Поэтому практическое значение имеют «размытые» оптимумы, т. е. такие сочетания искомых параметров, при которых малым ошибкам в выборе па­ раметров соответствует незначительное изменение крите­ рия оптимальности.

Это обстоятельство облегчает поиск оптимального варианта и оправдывает применение дискретных мето­ дов нелинейного программирования.

6.Методы нелинейного программирования

Взависимости от способа определения шага ДХ,- можно выделить градиентные методы, методы безградиентного поиска и методы случайного поиска. Находят также применение комбинированные способы, сочетаю­ щие достоинства перечисленных методов.

Подробное описание сущности п вычислительных аспектов нелинейного программирования содержится

38

Хй+і = Хй—akf'(Xk),

где Xй—k-e приближение; се/;>0— коэффициент, опре­ деляющий приращение переменных.

В этом методе при движении к минимуму делается шаг по направлению антиградиента — f'(X), т. е. в на­ правлении наибольшего убывания функции /(X). Коэф­ фициент ah может выбираться различными способами. Обычно рассматривают два варианта выбора.

1. Простой градиентный метод, где ah— const. Здесь при минимизации функции на каждом шаге должно вы­ полняться условие (46). В противном случае ал умень­ шается (например, в 2 раза) до тех пор, пока выполне­ ние (46) не восстановится.

2. Метод наискорейшего спуска, в котором щ опре­ деляется из условия минимума [(X) по направлению — ПХ):

/ (Xй - akf>(Xй)] — мин / [Xй - а}' (Xй)] = / (а).

< х > 0

Одномерная минимизация функции [(а) может быть осуществлена методом интерполяции [Л. 36], заключаю­ щимся в аппроксимации f(a) интерполяционным много­ членом. При хорошей аппроксимации молено ожидать, что в точке минимума многочлена действительная функ­ ция таклее близка к минимуму или, по крайней мере, значение ее в такой точке меньше предыдущих извест­ ных значений. В связи с трудностью аппроксимации функции многочленами высокого порядка и определения корней полиномов высокой степени обычно ограничи­ ваются квадратичной (реже кубической) интерполяцией.

39