Файл: Никитенко А.Г. Проектирование оптимальных электромагнитных механизмов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 56
Скачиваний: 1
Для построения квадратичного многочлена необхо димо знать значения функции в трех последовательно расположенных точках, например си, а2 и аз. Коэффи циенты интерполяционного многочлена определяются из системы уравнений
К 4- ^іаі Mi = / (аі);
M - &ias + 6,«2 = f («*);
^0+ М» + ^2аз = / Ю -
При а, = 0 имеем:
= /(*.); 0,а2+ 02а^ == / (а2) — /( а,);
6,a3-j- 62а® = f (аа) — / («,),
откуда
U (°3) —f («■)! °2 |
17(”з) —f («l)]<*3 |
|||
|
а3 |
|
а2 |
|
1 |
|
«£>- а3 |
’ |
|
Л |
-- |
[ К ) — f (а і) |
61 |
|
|
|
О |
„ * |
|
|
|
|
|
а 2 |
Квадратный многочлен f (а) —Ьо + Ьіа + Ьга2 достигает минимума в точке аЫин, где его производная
df(a)/da = bi + 2b2a
равна нулю, т. е. при
Цмші——Оі/ (2&г) •
В случае, если а^=0, будем иметь:
Омии== Оі Ьі/2Ь2.
Полученное таким образом значение аМип исполь зуется в качестве следующего значения 04- Так как ми нимум /(а) не совпадает с минимумом /(X), то при определении следующего значения as используется но вая аппроксимация для точек аг, аз, at и т. д.
Вопрос сходимости градиентного метода исследовал ся Б. Т. Поляком (Л. 37], которым показано, что ско рость сходимости зависит от поведения функции /(X) вблизи минимума. Градиентный метод сходится быстро,
4Q
ёСЛн вблизи минимума функция Изменяется примерно одинаково по всем направлениям. Если же в окрестно стях минимума /(X) изменяется резко по одним направ лениям и слабо по другим, скорость сходимости метода мала. Градиентные методы относятся к группе линейных [Л. 37]. Здесь при построении следующей итерации функция /(X) аппроксимируется линейной.
Более точно позволяют найти точку минимума квад ратичные методы, в которых вблизи минимума функция /(X) аппроксимируется квадратичной, а затем опреде ляется минимум этой квадратичной формы.
Среди группы квадратичных методов следует указать на метод сопряженных градиентов, впервые предложен ный М. Р. Хестенсом и Е. Штифелем [Л. 38] для решения систем алгебраических уравнений. Позже [Л. 39] метод был обобщен на случай минимизации нелинейных функ ций и может быть записан в виде
X W = xh + ahSh.
S ° = - /'(Х°);
Sfc=—n x * ) + ß kSA-b
о _ІГ (Х*).Р (X ^ -n x * -1)]
р/t [/' (X*-1), n x “- 1)]
Величина au при этом определяется так же, как в ме тоде наискорейшего спуска. Через несколько итераций метод рекомендуется обновлять, т .е. в точке X'1 вновь выбирать Sft= —// (ХЙ).
Описанные выше методы позволяют вести поиск экстремума функции f(X) при отсутствии ограничений на переменные. Учет ограничений может быть осущест влен несколькими способами (Л. 40]. В случае ограни чений типа равенств (43) укажем метод «штрафов», сущность которого состоит в замене задачи определения условного экстремума функции цели с ограничениями вида (43) поиском безусловного экстремума новой функции
W(X) = f(X) + k, 2 [<7г(Х)]2;
і=і
41
здесь Äi>0 — коэффициент, величину которого целесооб разно выбирать из условия
И 7'(Х )»ПХ ),
где №"(Х) — градиент функции W (X),
Значение і/р целесообразно изменять, выбирая внача ле малым, а затем увеличенным в окрестностях экстре мума. Использование «штрафной» функции приводит к автоматическому исправлению нарушения ограниче нии при очередном шаге.
При наличии ограничений типа неравенств (44) так же может быть использована функция «штрафа» в виде
8
w{X) = n x ) + k £ [я*, (X)]2,
где
Р *Д Х )={ ЛДХ) при Р Д Х )> 0
Опри Pj(X )< 0;
Pj(X) — /г-мерный вектор ограничений.
В некоторых случаях задачу определения оптималь ных параметров электромагнита удается свести к отыс канию экстремума нелинейной функции двух (или трех) переменных. Здесь эффективным оказывается примене ние одного из простейших методов безградиентного по иска— метода сканирования. Суть метода состоит в по следовательном определении критерия оптимальности в ряде точек, расположенных в области допустимых зна чений параметров. В случае двух независимых перемен ных Хі и Х2 определение критерия оптимальности ведет ся при заданном значении одной переменной Х2 для ряда значений Хи отстоящих друг от друга на величину шага ДХі по переменной Хі. Алгоритм поиска строится таким образом, чтобы вычислительная машина отбра сывала варианты, для которых не удовлетворяются ограничения, а из тех случаев, в которых ограничения удовлетворяются, запоминала вариант, соответствующий минимуму (максимуму) критерия оптимальности. После окончания поиска лучшего варианта во всем диапазоне изменения Хі значение переменной Х2 изменяется на ве
личину шага АХ2и т . д .
Достоинства описываемого метода заключаются в том, что при малых величинах шагов ДЛ'і и ДЛЛ2 опре-
42
деляется абсолютный (глобальный) экстремум функ ции. Независимость процедуры поиска от вида оптими зируемой функции и функций ограничений также являет ся большим преимуществом метода сканирования. При менительно ік задачам оптимизации электромагнитов важным является возможность установления «чувстви тельности» оптимизируемой функции к изменению от дельных параметров вблизи экстремума.
Находят применение различные алгоритмы поиска методом сканирования (последовательный перебор узлов пространственной сетки, поиск с переменным шагом, ска нирование по спирали), использование которых позволя ет уменьшить объем вычислений [Л. 42]. При поиске, например, с переменным шагом применяется поэтапное уменьшение шага ДАЛ При этом количество необходи мых вычислений по сравнению с перебором узлов прост ранственной сетки уменьшается и может быть определе но по формуле
N2=-Nid-™ + г (2dА) ’■],
где N2 — количество вычислений при поиске с перемен ным шагом; Nі — то же при последовательном переборе узлов пространственной сетки; п — число переменных; А — точность определения оптимума; г — число этапов, на которых шаг уменьшается в d раз.
А^етоды случайного поиска не. рассматриваем, как не нашедшие применения при проектировании электромаг нитов ![Л. 40—45].
Глава г ре ть я
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТА С ВТЯЖНЫМ ЯКОРЕМ
ИСТОПОМ
7.Постановка задачи
Для рассматриваемого типа электромагнита восполь зуемся выражением тягового усилия (34), справедливым для случая, когда магнитное сопротивление стали маг нитопровода мало по сравнению с сопротивлением рабо чего зазора. Опыт показывает [Л. 11, 30 и др.], что в большинстве практических случаев при наличии воз душного зазора оптимальными являются ненасыщенные
43
магнитные системы. Однако если пренебречь магнитным сопротивлением стали при использовании (34) для выбо ра оптимальных параметров, можно получить нереаль ные значения индукции в элементах магнитопровода. Чтобы избежать этого, необходимо поиск параметров электромагнита вести при условии, что индукция в наи более насыщенной части магнитопровода не превзойдет наперед заданного значения. В электромагните с втяж ным якорем наиболее насыщенным является сечение, не
посредственно |
прилегающее к |
воротничку. Индукция |
в воротничке может быть определена по (35). |
||
Для того |
чтобы результаты |
проектирования имели |
общий характер, выразим основные геометрические раз меры электромагнита с конической формой сердечника
и стопа через |
относительные (безразмерные) |
величины, |
||
приняв за базовый |
размер радиус сердечника гс: |
|||
ф с—Х\ |
Ыга= у \ |
r\/rc= z \ Х/Гс—v-, |
|
|
|
|
h /rc — j\ |
ѵ/гс = k. |
|
Используя |
приведенные |
соотношения, |
выражения |
(34) и (35) и полагая гс3>ѵ, тяговое усилие и индук цию в воротничке представим в виде
|
|
|
|
|
" |
|
(-У + Р) (ЛГ-1) |
X |
|
|
|
|
|
У3sin а |
(Ar;+ I) |
||
|
1 Г 2sin а |
|
, |
Г 2sin а |
( |
|
|
|
sh у |
V |
In А' |
+У ~hTX~ Vz |
о ch у |
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sln а |
k |
V2 |
|
2sln а |
|
|
|
|
ln X |
|
І |
ln А' |
сЬу |
InJT |
|
( 47)
44
в-: = JL л |
Г |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
______L _ ѣА^ + Р) l^ -llw |
||||||||||
(j.0 |
у |
2k^iksS |
|
у у sin а |
У |
X + 1 |
/Х' |
|||
|
|
f |
2sin а |
_ /"2sin а / |
|
Г 2 зіп с Л _ |
|
|||
sbyV J T X + V j ^ X l 2 + ^ch// у |
|
|
||||||||
|
|
|
|
sh у |
/ |
2sin а |
-X |
|
|
|
|
|
|
|
~ ь х ' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
2sln а |
к |
ѵг |
|
, Г 2sin а |
|
|
|
|
|
|
І п Х |
~Г ~йГХсЬ lJV ~Wx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 П + - Г - ! |
In А" |
, |
• |
v |
|
||
|
|
|
|
j |
|
. (48) |
||||
|
|
|
|
|
|
2sin а |
-I- |
Sill OC |
--- гг |
|
|
|
|
|
ch у |
/ |
1 |
|
ln А |
|
|
X |
/ |
2sin а |
TiTF |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hTF
•(/ + m r)
Критерии оптимальности (габаритный объем, массу, стоимость активных материалов и потребляемую мощ ность) івыразим также через относительные размеры. На основании (37) безразмерное значение объема можно представить в виде
Ѵ % = ^ г = ^ - ( Х = + 1) ( z + y + n - f І ) = Ѵ ( Х , у , z, V).
(49)
Массу, выраженную в безразмерной форме (для мед ного провода), получим, используя (38):
т*= |
|
|
к * 3 - |
0 '(2+ у + |
°)\ ь + |
|
+-jjr (22 + |
2у + |
2о + |
1) + ^ |
= /И* (X, у, г, о). |
(50) |
|
Относительная |
стоимость |
активных |
материалов |
|||
с учетом (39) |
|
|
|
|
|
|
с * = О Т Т = у |
КХ1 - 1 ) (г+■</+»)] V + |
|
||||
+ - р - ( 2 г + |
2!І; + 2 0 + |
1).+ ^ |
= С « ( Х , |
у , г , о), |
(51) |
46