Файл: Некоторые специальные разделы курса теоретической электротехники учеб. пособие.pdf

Значит

У at •= c£x=C°ns*

>

й

»(х)

-

есть прямая

линия,

соединяющая

точки

а

и

6

Мы рассмотрели

выше плоскую задачу.Если

задача много-

мерная и искомаг функция

lL(x,4,z)

имеет

несколько

3 " J / J n t i . a ' o c . u ' a . u ' z . x . y . z j a f x c l t f f l t B ,

1 2

а уравнение Эйлера-Лагранжа записывается так:

Э £ _ _Э_ 2 £

i _ iE

і_ іЕ_ ,_ л

І 3

в и

ах аа'ж an

aw*

аг аи'г

7

й -

В- инженерной

практике

обычно приходится

исследовать

электрические и магнитные

поля,

в некоторых объемах и соот­

ветствующие

потенциальные

функции будут для

плоскоаарал-

рого объема V

,

,

в котором сосредоточен заряд с плот­

ностью JJfX,W,Z).

(

РИС.2)

_____

Потенциал на границе объема равен нулю (Краевая задача

Дирихле).Известно

,

что потенциал

в данной области опи­

сывается уравнением

ііуассона

Wz -

r x , a . z ) - L L o t x d a d z .

, V

'

причем

Wi = W * = W .

можно записать

W = 2 W * - W , ,

иди

Значит функций,

сообщающая, минимум функционалу (14)

должна удовлетворять

уравнению Пуассона. В результате; мож­

-

и

-

Здесь

а« - постоянные

коэффициенты, зависящие от конфи­

гурации

области. Функции

выбираются: произвольно .од­

нако они должны удовлетворять

определенный

требованиям:

I.Обращаться в нуль на границе

области,

2.Должны быть, по крайней мере,

дважды, дифференцируемы.

Выбор координатных функции играет очень существенную

роль и многое здесь зависит от опыта

решающего задачу. В

І 2 ]

даются рекомендации по

этому

вопросу.Так

для пря­

моугольной, области с размерами

X

=іО.

,у = ±Ь .

Можно брать .

Ножно применять и тригонометрические

функции

% = S i n . Я Р • S U ^

,

* • Ф**г

ш

Ун*

cos

cos

-ТГ

,

Точность расчета определяется, а* ешвют

*0яич*с<їіт

слагаемых в последоват

льиоств, (17), ОШЫЮ ЖШрШШрт ,

видом этих

слагаемых.

Посла выбора решение остаетса ещедвж**»

ітЩвтш*

ак таким образом,

чтобы потенцкал*МЯ #jfWflt«*

аылршт

образом описывала исследуемое

поде,

ftltm

rv*Op*f

Up* Шїг

становке (17) в функционал (14) ,

ког$$*ДОЮ»

й *

ЯШЖ

обеспечить

ему минимальное значение.

Операция вычисления коэффициентов а «

е*бД1йге*

Я

подстановке

в функционал

выбранного

решения: и составления системы

алгебраических

уравнений,

по. числу неизвестных

a t ' 0 - * " 4 - 1 - " "

ь результате таких операции

получав-ес*. «леавм* яшюеюайк

где

/

потенциал на

границе-области.

В этом случае можно применить операция приведения за ­

дачи

к нулевым начальным условиям. Для этого решение за ­

писываем

так:

^~

U-«fo-*2-a.r<Ai««f»*lP

r

i

з де ОБ Чи

-

некоторая

функция, обращающаяся, в f

на

границе

области

,

f «

- обычные координатные

функция

,

равные

нулю на границе области.Подставим (21) в

уравнение

Лапласа и получим после дифференцирование уравнение Пуас­

сона для функции *f(ct,u)

с кулевыми гранитными

условиями

- ІЗ

-

э У . a V _

_

n

Правая часть этого

уравнения

р

выполняет функцию распреде­

Пример I .

Рассчитать

электрическое

поло; в

прямоугольной

области ( поле статора ЭСГ) ,

изображенной, на рис.

3. На /"*

двух

противолежащих границах

области ж

= ± а.

і,ленциал

равен

нулю ,

а^на двух д^гих

( u = ± d

)

потенциал

описывается. Функцией &(эс)

. Вид этой, ф-чкции, j

6

ic(oc)

OSLLH

-а

а

- а

- 6

»

-*

-Л

и

ы

РЙС.З

и размеры области заданы.

Поле і

данной области удовлетворяет

уравнению Далласа.

Ц (X,У) = 0,5UH [Йо + О г X і *

O Y X v J +

28

+ 0J25U.H

a * + r f *

(ос-сС)(Уг-а).

^то решение дает наилучшее среднеквадратичное приближение

к точному

решению при выбранной, функции (26

) .

Пример 2

Рассчитать статическое магнитное поле в прямоу­

гольной пазу, вырезанном в ферромагнитной среде, если из­

вестны размеры паза и проводника с

током в

нем

(см.рис.4).

заданы

граничные условия: магнитная

проницаемость ферромагне­

тика

JJ-

-

о°

, силовая линия на границе У

= О

совпадает

с

осью

"X" .

(Такие

допущения обычно принимаются

в подобных задачах

{_Ъ[

) .