Файл: Некоторые специальные разделы курса теоретической электротехники учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 64

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- к -

можно достроить нижнюю половину области, представляющую зер­ кальное отражение верхней с током противоположного направ-' лекия* Получили область, симметричную по обеим осям,огра­ ниченную со всех сторон ферромагнитной средой.Известно.что поле в этом случае удовлетворяет уравнению ііуассона.

д

%

. 3aJ?z _ _ ilS1,

29

Эх*

 

Э « а

"

 

где Лі

-

векторный

магнитный потенциал,

для, двухмерного поля

он имеет толь; э одну Составляющую, совпадающую по направле­

нию с

током

 

 

 

 

 

 

 

 

сГ -

плотность тока в проводнике.

 

 

 

 

 

 

Если поде статической, то

<Г

^ConSi,

 

 

' п 0

в с е

м ^

сечению проводника.

 

 

 

 

 

 

 

Известно, что

магнитный поток ^пронизывающий

контур і

можно определить По формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф =

Ф Лей.

 

 

 

 

 

 

3 0

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

ь нашей задаче, если принять за

начальную

(

к

=

0)

силовую линию ту,

которая совпадает

с осью

X ,

 

магнитный

поток,приходящийся

на единицу-длины

паза и ограниченный

начальной линией и линией, проходящей через

точку

ff

 

бу­

дет численно равен

составляющей.

А*.~~~ж-точке,

jf

 

.Сле­

довательно, векторный потенциал обладает свойствами пункции

потока, а линии,

имеющие

одно и токе значение Йг ,

есть

силовые линии.

 

 

 

 

 

Известно, что для двухмерного поля

 

п _

дМ

а

_ _

Ш .

31

ОХ = дУ '

ОУ =

Зое .

 

£ задаче принята бесконечно большая магнитная прони­ цаемость окружающей паз среды, следовательно, на границе области силовые линии будут перпендикулярны к ней.

ЦГ = В о с = 0 , при

</«±g,

з 2

U * » - B a s , f l , i i p u

a c - ± t t ,

 

Итак , будем решать задачу Неймана для уравнения Пуассона.Решение в этом сяучае {2.2 можно искать среди пункций, удовлетворяющих граничным условиям (32)

Выбираем сумму трех функций.

Лг (х.ц) = ъ , у(5& - у г ; + 2 > г У 3 ( б г - У4» V - » * / +

имея в виду симметрии) относительно

вертикали и различие

знаков тока в нижней и верхней, половинах области.

Составляем уравнения Ритца, для чего

подставляем выбранное

решение в функционал

 

3 = ПИВ! • і№ї-іл£*и*ь.

54

 

Промежуточные преобразования мы здесь опускаем и Записываем

получившуюся систему уравнений.

і

^ ' о г а Ь 5 л- ^ І ^ і І і ! + ^

4 _ , , т п _

A

/ад*оГ|! / г і * of. д і ї .

u ЭКЗЕМПЛЯР

С Т А Л Ь Н О Г О ! $ А Л А

- 18 -

/ 7 4 а г - « р Л » .

Здесь обозначено:

П. = 6 b \ d + с ) - ( d S d ' c + d c e - с 9 ) ;

*d*c +d¥+

dc^dc+c^ifd'+dc+dV+dtf+dc^d^

П і - [ / 5 a - War*&r] [6t(d*c) - (d'+fa +d£+ c3)] ,

Реаая систему (35), получаем величину коэффициентов

- 19 -

+ o f (2,9d+0,55)} \ ЗЄ

і = 3 8 + e / 0 d f + 19?,5a .

Эти коэффициенты содержат все размеры рассчитываемойоблас­ ти, причем они отнесены, к величине „& .

Вычисляем по заданным размерам коэффициенты, (36), под­ ставляем их в выбранное решение и можем подсчитать значение векторного магнитного потенциала в любой точке области.Ко­ ординаты точек также отнесены к . f t '

Ґ а - o c J

»

 

здесь Ъ\ = Ъ,8йг

?U = t > i o \ Ы

»»•!'.

Так для области с относительными размерами . О- =-0,7 , fl£ = 0,6 , С = U.2. , у* = 0,524 коэффициенты

получились следующие:

Ъ< = OJikJUl,

*>і « 2 , 3 5 / Л ; Pi » 0,0415А*

-

Можно проверить решение, воспользовавшись законом вод­ ного тока.

- 20 -

36

Вабере» несколько контуров в нашей области.Для. просто­ ты контуры будем выбирать так, что три стороны их совгддают

с ферромагнитной границей области, 'а

одна проходит через

внутреннюю часть области (см.рис. 5)

 

 

S

f

It

іVi'iH''/'ii"iini//i/i/iiuilh

)l)l))HtHH)llinin)l/llllll.

 

 

РИС. 5

 

Так для контура

1,2,3,4, I

можно записать

Г

*

Г

'

*

г

з

ч

Кеди учесть , что касательные составляющие вектора магнитной индукции на ферромагнитной границе равны нулю, то (39) упро­ стятся

а

 

 

S bxdx

- J l l при.

у=о\

- Ja-

do c = -Лa а а і + 3 J D » / o f - o c f l d x - J i l .

- 21

-

 

Проделав интегрирование

и подставив а

=0,*524 , получаем

/*I8 f ?ffi"~/iZ

.Погрешность

расчета.,20%.-

Геперь выбираем контур

5,6,3,4,5. ироделаем""подобную опе-

и получим

0,&kSJU.l-JU.T

,

причем погрешность при

этом будет 15% .Если взять

контур

7,8,3,4,?

(он не охва­

тывает

ток , то получаем

 

 

 

 

J

эу

d x = o .

 

 

 

После вычислений

интеграла

при У = 0,8

получаем

0,f(J*I

= O

 

.Здесь

погрешность по отношению

к единице

составляет' 11%.

 

 

 

интегральные погрешности, получившиеся, в пределах 10-20$ в ряде случаев вполне удовлетворяют требованиям, ин­ женерной практики, тем более , что точность расчета можно повысить , если добавить еще одно слагаемое в выражение (33).

Безусловным преимуществом изложенного метода ремениа краевых задач электростатики и магнитостатики являетоато, что он позволяет получить аналитические выражения для по­ тенциалов и наяряженностей поля. Структура этих выражений; проста и удобна для обращения.

- 22 -

Метод Канторовича

Этот метод иначе называете» методом приведения- к

обыкновенным дифференциальным уравнениям

[ 2 ] .изложим

кратко его сущность.

 

Основным недостатком вышеприведенного

решения краевой,

задачи по Ритцу является то, что форма его выбирается весьма произвольно.При наличии определенных навыков и опыта можно выбрать более удачную скорму решения, с малым количеством слагаемых. В эт^м случае вычисления не отнимут много време­

ни , ответ будет лаконичным , простым.В противном случае

,

даже при большом, количестве

слагаемых

, решение может полу­

читься, менее точным ,

а его

получение

потребует

больших;

зат­

рат .труда и времени.

 

 

 

 

 

Метод Канторовича

в определенной

степени

свободен

от

упомянутого недостатка , так как в нем решение выбирается произвольно только для одной независимой. переменной.Таи для уравнения Пуассона

при нулевых граничных условиях.-решение, записывается в виде такой суммы

 

 

*

 

і

 

 

 

 

Здесь Ч'кСх)

выбираются произвольно , подобно тоиу,

как

это делается

втиетоде Ритца .Эти функции должны об­

ращаться в нуль на границе

расчетной области

и должна быть,

по

крайней, мере,

дважды дифференцируемы.

 

Sa(y)

~

неизвестные,

искомые функции.

 

 

Составленное

таким

образом решение \Ы)

пидит;ІУ;;ШТ И

функционал

(19) и выполняют

интегрирование по одно., перемен­

ной , той , функция которой

нибир.іетс. произвольно. В ре­

зультате

такой операции функционал приобретает

вид:

-

г.і -

 

 

 

Выше было подчеркнуто ,

что функционал может иметь

экстремум только в

том случае

, если F

удовлетворять

уравнению ЭйлераЛагранжа. С помощью этого уравне .ид мы

можем получить систему "К" штук

дифференциальных уравнения*

в которые входят искомые функции

і и (If) .

 

Теперь для вычисления $л(у)

необходимо решить полх-

ченную систему.Так

как эта опереди» обычно

трудоемкая, то

желательно вибирать

в последовательности (W) минимальное

количество слагаемых.Часто ограничиваются одним слагаемым, что позволяет получить всего одно дифференциальное уравне­ ние.) решение которого лаконично по форме я находится, без

особых затрат труда.

С целью иллюстрации метода приведения ж обычным диф­

ференциальным уравнениям ниже приведен конкретный пример е подробным ранением.

ирииер .3. Рассчитать статическое магнитное поле,созданное

током I , протекающий по мине прямоугольного сечения., расположенной в бесконечно длинном открытом пазу.Размеры iit.-a и шины указаны, на рис.6. Стенки паза ферромагнитные

с бесконечно большой, магнитной, проницаемостью.Допускаем , как это часто делается в подобных задачах , что иа поверх­ ности открытого паза силовые линии поля, представляют собев прямые линии. В этом случав можно воспользоваться, методом зеркальных отображений и достроить нижнюю половину облаг * • с тиком противоположного направленна ( показане пунктиром.).'

получили симметричную область с границами X = ЇГЇІ ,7 frill, прячем силовые линия поля перпендикулярны, стенкам пава и» границах области.

Решение: Известно , что поле. > рассматриваемой, облает*

Смотрите также файлы