Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 90

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где

 

 

N

N- 1

 

 

 

 

c ЛЧ2 -1

'

(Б.8)

 

 

N + 1 '

 

 

 

2 +^

 

Следующая лемма — вспомогательная.

Она

будет'

исполь­

зована при доказательстве леммы Б.5.

 

 

 

Лемма Б.4. У функции

 

 

 

 

f ( л ) = CLXX

1 -у- Cl^X

— . . . —}—О.Щ + 1^

,

 

где все сіі отличны от

нуля и

< % < ■• • < ^m+i— любые ве­

щественные числа, не может быть более m положительных корней.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При m = 1 лемма очевидна. Пусть она верна для какого-нибудь значения m, а для m + 1 неверна. Тогда найдется функция

f {х) = сіхх 1-f- О'іХ “

.. + &т+ \хь,п+ \ -\-а,п.Ѵ2Х п11”,

число положительных корней

которой больше,

чем tn + \. Все

эти корни будут также корнями функции

 

-Щ *- = ах+ а2х 2 h + ... + a m+xx 'm+l h ~h' -

2X- - W a

Но тогда по теореме Ролля производная этой последней функ­ ции будет иметь больше m положительных корней, что проти­ воречит допущению, ибо эта производная имеет вид

Ьхх х4- Ь.гх 2 +

хх т+\

Лемма доказана.

Лемма Б.5. Пусть N — нечетное число и QN (X) — произ­ вольный нечетный алгебраический полином степени не выше N:

N- 1

<2лд-*о = У П лД/+1- У= о

Тогда

[а, | < U H

max

\QN (X )\,

(Б.9)

где ДуѴ)— коэффициенты, полинома

Чебышева

tÂ\{x).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что при некотором /

|а; | > | Д Н

max

|( М * ) |.

(Б.10)

Введем полином

 

 

 

 

 

 

,4(Л')

 

 

ЛГ-І

 

 

 

 

 

Дѵ ( л )

 

 

 

 

 

 

2

c »X2A + 1

 

 

=.tN { x ) - - - L - Q]V(X) =

2

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

ft=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/Ѵ-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W(}>) =

О

с у .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = 0

/V —1

 

 

 

 

 

У полинома

W (у)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

не более чем —^— отличных от нуля

коэффициентов

 

(Cj = 0).

Рассмотрим

узлы

 

у,

= cos2

,

0ыN — 1 Очевидно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — Уо >

Уі> • • • >

Удг_і >

°-

 

 

 

 

< Найдем значения W (у)

в узлах уу.

 

 

 

 

 

 

 

 

Яд/ I cos

 

 

1

 

 

 

Â{N)

 

 

(

 

W ( у;) =

 

/71

 

 

 

17.

( - D 1---- ~ Q N [ ^ S ~

 

 

COS

N

 

 

cos ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая

(Б. 10), заключаем,

что

W (у)

меняет

знак при пере-

ходе от уі к уі+1 и, значит, имеет не

менее

чем

ZV — 1

 

—^— положи­

тельных корней. Это, однако, противоречит лемме Б.4.

 

Лемма доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ Q.r(х ) | <11,

С л е д с т в и е . Если в условиях леммы Б.5 max

то для j

/V— П

sr

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0:-

 

 

будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ а . \ < {Ы + 1)2/+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 V 1 ^

( 2 у + 1 ) ! •

 

 

 

 

 

Действительно, в силу (Б.9) и (Б.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N - 1

 

2/+1

 

7V + 1

+ J M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

іа/ і < 2Ѵ

н

 

. с л Д . ~ ! < 2

 

/V — 1

-У)!(2/-Ы)!

 

—ö---- h j

2

д-j

 

 

—

 

92/4 - 1

 

[

2

'

J

 

92/ + 1

 

/Ѵ+ 1

 

 

< ( 2 у Ч - 1 ) !

{ N + Л

,

 

 

( 2 / + 1 ) !

 

 

 

- У '

 

N + 1 \2

/Ѵ + 1

^ ( / Ѵ + 1)2' + 1

 

2

^ (2/ + 1)!

Утверждение доказано.

4. Следующая теорема используется в основном тексте. Е доказательство базируется на свойствах полиномов Чебышева, приведенных в предыдущем пункте.

Теорема Б.2. При любых натуральных р, m и

п найдется

алгебраический полином

Qn (xf' степени не выше п такой, что

для X<= [ — 1, 1] будет*

 

 

 

пу

 

где константа Арт зависит только от р и ш.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим вначале случай р=1.

Если п ^ 2 т — I, то

можно положить Qn (z) =

l. Действи­

тельно, тогда

 

 

Поэтому в дальнейшем будем считать, что п> 2т — 1. Обозначим через N наибольшее нечетное число, не превосхо-

дящее

2п

+

1. Очевидно, N ^s 3. Кроме того,

2т — 1

 

 

 

п

/

1

1

2т — 1

 

П ^ п

 

2л 1

^

2

1 п

(Б.11)

 

 

 

2т— 1

 

2т —1

п

 

Рассмотрим полином Чебышева tN{x). В силу (Б.8)

 

 

 

N - 1

 

Л '-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

4 N)x J+1■

i N (X) =

(-1 ) *

N x +

Отсюда

 

 

 

 

i = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N —1

 

 

x = b0t „ ( x ) + %

c*)xV+\

N -

1

 

 

7 = 1

 

 

 

 

 

 

где bQ= (— 1) 2

-jj-. Теперь заметим, что

 

 

 

 

(2s +

1) N -

1

 

 

 

 

 

2

 

/,Ѵ+1 ( X )

=

hsx 2s+ll+

2

dJS)x2J+1’

 

 

 

 

j = S + 1

 

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7V~1

 

 

 

A ,=

( - l )

2 ^

+1ф 0 .

(Б.12)

(Б.13)

(Б.14)

* P. M. T p и г у б [32].

 

СМ

 

5 =•• 1

2

 

 

tn — 1, имеем

Полагая.последовательно bs =— —

’

’’

‘ •’

 

*

hs

 

*’

 

 

N - 1

 

З.Ѵ- 1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(2)

2у+1

 

 

2 4 Ѵ

' +і = ы ?ѵ (* )+

2

 

 

 

 

с'-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* Л

 

 

 

 

У = 1

 

j =

2

 

 

 

 

 

 

ЗЛГ-1

5 / V - l

 

 

 

 

 

 

V

4 V '‘« - é ^ w +

y

 

(Б.15)

j =

2

 

7 = 3

 

 

(2m - 3) A '- 1

 

 

(2m-I) Л'—1

 

 

 

 

 

(/n) Д/ +1

 

 

 

 

7

 

 

j = m— 1

 

 

j = m

 

 

Объединяя

(Б.12) и (Б.15), получаем основное тождество

 

т — 1

 

 

 

 

 

• *.= 2 ^

+I( x ) + x 2m+,Q(x2),

 

(Б.16)

 

j== О

 

 

 

 

где Q (г) •— полином, степень которого не превосходит

 

{2m- \)N- {2m+\) _

(2m- l)(W- l)

1

•

 

2

~

2

Таким образом, Q(z)—Qn{z). Покажем, что полином Qn {z) — требуемый. Для этого на основании (Б.16) и (Б.11) достаточно установить, что

 

 

777-— 1

 

 

л(і>

(Б.17)

 

 

2

м

г 1(X)

< -

 

 

дг~

 

 

j = о

 

 

 

 

Продифференцируем

 

тождество

(Б.16) 2ѵ+ 1

раз,

1 ^ V

— I, и положим х=0. Это даст

 

 

 

j2v+l

т—1

 

= 0.

 

 

 

йх,2ѵ+Г 2

b*tN

(X)

 

 

 

 

s =

О

 

Х = 0

 

Учитывая

(Б.13), записываем

 

 

 

 

аъ+1 ,2ѵ +1, ,

Ä,(2v +l) l

 

 

dx

*N

(■*)

 

 

 

 

л- =

0

 

 

и при s €= [ѵ + 1 : tn — 1]

 

 

 

 

 

 

 

d2v+1

Jts+i.

 

 

 

 

 

dx,2v+

 

Jf=0

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J2V+1 V

- 1

 

 

 

 

= — A,(2v +

1) \b*.

(Б.18)

dxS T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 0

 

 

Л' —

0

 

 

 

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2ï+ 1) N -

1

 

 

 

<W > N ( X ) = ^ +1 ( x ) = .

V

tff'x2l+ \

 

 

 

 

 

 

 

 

j=0

 

 

 

 

Поскольку max

1G(2j+]) N (x) | =

1, то в

силу

следствия из

леммы Б.5 будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d f \ <

((2s +

2) N f i + 1

 

 

 

 

 

 

 

(2у+1)1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

10, если

2ѵ 4- 1 > (2s -f 1 ) /V,

 

dx2T+ T Î N + 1 { X )

 

lrf^(2v +

l)!

в противном случае.

 

,v=o

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2'!+1

 

 

 

<

((2s+

2) TV)

2ѵ+ 1

(Б.19)

 

 

Т $ +1(*)

д-=о

 

 

2л2ѵ+-

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая

(Б.18),

(Б.19)

и (Б.14), для ѵ е

[1 :т— 1]

полу­

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 = 0

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

1

I

I<

л (3)

 

: т ~ 1 ],

откуда

I ЬйI — -дГ > то

~іг ' ѵ е [1

следует неравенство

(Б. 17), а вместе с ним и неравенство

 

 

 

|A ' - x 2m+1Q„(*2) l < 4 f

•

 

 

(Б.20)

При р=1 теорема доказана.

Возьмем натуральное р>1. Если п ^ т ( р — 1)+р, то можно положить Qn(z) = l. Действительно, в этом случае

I ^ _ x P+b*Qn [х 2) I < 1 < ^ ( Р - ))+Р) Р .

Поэтому будем считать, что п>т(р — 1) +р.

9 6

Смотрите также файлы