Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
Б.Полиномы Чебышева
1.Введем обозначение
|
|
tn (х) |
= cos (п arccos х), |
(Б. 1) |
||||
где ,Ï G [—I, 1] |
и n — натуральное число. Поскольку |
|
||||||
cos /гѲ = -і- [(cos Ѳ+ |
г sin Ѳ)я + (cos Ѳ— г sin Ѳ)"], |
|
||||||
то, полагая здесь Ѳ= arccos х, получаем |
|
|||||||
іп(X) = ~ |
[[х + І Ѵ Т = # У |
+ [ х - 11/Т = 1 ё ) а] = |
|
|||||
= 4 - 2 CÎ (1 + ( - 1 Ÿ) ik |
Ѵ - * = |
|
||||||
fe= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
( - 1 ) 'с ’у |
г*(1 - X 1)’. |
|
|||
|
= |
V |
|
|||||
|
|
J = О |
|
|
|
|
|
|
Равенство |
|
|
И |
|
|
|
|
|
tn (X) |
|
|
|
|
- 2i (1 - x*)s |
|
||
= |
2 |
( - l)JCn2V |
(Б.2) |
|||||
|
|
|
s = |
0 |
|
|
|
|
имеет место для х Œ. [—1, 1]. Будем |
считать, что правая |
часть |
||||||
этого равенства определяет tn (x) |
для |
всех вещественных х. Та |
||||||
ким образом, tn (x) |
является |
алгебраическим полиномом |
сте |
|||||
пени п со старшим коэффициентом, равным
И
У Cls =2'1- 1
причем для х е [—1, 1] справедлива формула (Б.1).
Полиномы tn (x), п —1, 2,..., |
называются полиномами Чебы- |
ГГ |
2k --- 1 |
илева. Корнями полинома r,t (x) являются числа х к =? cos—^ — те,
і е [1 : л].Заметим, что все п корней полинома Чебышева tn (x) лежат внутри интервала (—1, 1).
2. Лемма Б.1. Если \х \ >1, то
\tn( x ) \ < { \ x \ + V ^ - \ y .
Действительно, в силу (Б.2)
И
|
|
к и к |
2 c ? \ x \ - s‘ ( v ^ i r < |
|
|
|||||
|
|
$ = о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2 |
c * \ x \ n~k [ V ' ï ^ \ y |
= [\x\ + Y l ? = \ ) n. |
|
||||||
|
ft = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма Б.2. Пусть Рп {х) — произвольный алгебраический по |
||||||||||
лином степени не выше п. Если |
max |
I P n (х) | |
то для лю- |
|||||||
бого X, |
IX I > |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп (х) I < |
L I tn (X) I. |
|
(Б.З) |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что |
для |
некоторого |
х, |
|||||||
I д:] > 1, |
неравенство |
(Б.З) |
не |
выполняется. |
Заметим, |
что |
||||
іп (х )Ф 0, поскольку все п корней полинома tn (x) |
лежат внутри |
|||||||||
( - U ) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L < |
Рп (X) |
|
|
(Б.4) |
|||
|
|
|
|
tn (х) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем в рассмотрение полином |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R n(-О |
Рп (И |
tn (X) - |
Рп (х) |
|
|
|||
|
|
|
t„(x) |
|
|
ы |
. , |
|
|
|
и найдем его значения в точках |
х„ |
|
[О : и]: |
|
||||||
: COS--- |
, Я |
|
||||||||
|
|
Rn(xk) = (- |
1 у - Ѣ Щ |
. - Р М . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
tn (X) |
|
|
|
|
|
На основании (Б.4) и определения L заключаем, что Rn(Xk)
имеет тот же знак, что и (—1)/г Р п ( х ) |
Таким образом, поли |
І„ (х) |
от хп к хи+і и, следова |
ном Rn{x) меняет знак при переходе |
тельно, имеет внутри (—1, 1) не менее п нулей. Поскольку и х является корнем Rn(x), то необходимо Д)г(л:)=0, или, что то }ке самое,
|
РП(Х) = |
Рп (X) |
tn (■*) • |
|
|
tn(x) |
|
В частности Рп (1 ) = |
Р" ^ |
что противоречит (Б.4). |
|
п |
і„(х) |
|
|
Лемма доказана.
С л е д с т в и е. В условиях леммы Б.2 выполняется неравен ство
|
|
|
+ |
(Б.5) |
Это следует из (Б.З) и леммы Б.1. |
|
|||
Теорема Б.1. |
Пусть |
Рп{х) — произвольный алгебраический |
||
полином степени не выше п и |
|
|||
|
|
max |
|Я л(л:)|-<Т. |
|
Тогда |
1Л‘1< 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
I Рп (л) | < |
AL, |
|
|
л-£1-1,1} |
|
||
где А — абсолютная константа. |
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим Qn(z) = Рп |
|||
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
I |
max |
I Qn (z) | < |
L. |
|
Z I < |
1 |
|
|
Если 1 < | г ( < ;і |
-f- |
то в силу (Б.5) получим |
||
< L |
H - |
i-M^3 |
< AL. |
|
|
|
n |
|
|
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
max |
I Qn (г) [ < AL. |
|
|
||
Пусть теперь х — произвольная точка из отрезка |
[—1, 1] и |
|||||
г = --- —j —. Тогда Рп {х) = Qn (z). Поскольку |г | < |
1 + |
, то |
||||
1 2яТ |
|
|
|
|
|
|
|Qn(z) I ^ AL. Значит, |
\Рп {х) | ^ |
|
AL и, следовательно, |
|
||
max |
[ Рп (х) I <; AL. |
|
|
|||
■Л-£[-1,1} |
|
|
|
|
|
|
Лемма доказана.
3.Лемма Б.З. Для полиномов Чебышева имеет место пре
ставление \
ш
t M = ^ { - \ ) kK^ F Ck^ k2n2k- 1x'l--k. |
(Б.6) |
k = о |
|
9 0
Д о к а з а т е л ь с т в о . При п —1 и /г= 2 равенство (Б.6) |
про |
веряется непосредственно (см. (Б.2)). Предположим, что |
(Б.6) |
имеет место для всех натуральных п, не превосходящих т, и до кажем его справедливость для п = т + 1. Для этого заметим, что из очевидного тождества cos (m +1 ) Ѳ+ cos {m — 1 )Ѳ= 2 cos Ѳcos mQ после подстановки Ѳ= arccos x следует
t,n+1(^) ~ |
^m—1 |
m = |
2, 3,... |
(Б.7) |
|
Рекуррентное соотношение |
(Б.7) справедливо |
для х е |
[—1, 1], |
||
а значит, и для всех вещественных х. |
|
и |
(Б.7), |
имеем |
|
Пользуясь индуктивным |
предположением |
||||
ІТ-.
tш-Ь 1( х ) = У, (-1 )*
Ä = 0
+ й2= 1
Заметим, что |
|
|
m п ъ |
I |
m— 1 n k—1 |
лг — /г |
и - |
m — £ m—k |
При четном m в силу равенств
We |
Q/д—2ft OT—2Ä+1 |
+ |
|
^ т — k Л |
ж |
||
W - 1 |
сутп— 2k |
m—2Ä+1 |
|
^ m— |
|
X |
|
ш \ пі+ \ — k
|
[ m |
|
+ 1 = |
m + 1 |
|
|
"2 |
|
|
2 |
|
получим |
|
! |
|
|
|
|
'т+ 11 |
|
|
|
|
tГП+ 1 (X) |
2 |
•( |
/Я -г 1 |
|
2йчm4-l—2Ä |
1 |
|
||||
< H |
т + ! _ А ^m+1-kZ |
X |
|||
Нетрудно проверить, что последнее равенство справедливо и при; нечетном т. Лемма доказана.
В дальнейшем нас будут интересовать в основном полиномы Чебышева нечетных степеней.
Пусть N — нечетное число. Тогда из (Б.6) после подстановки
N — 2k = 2j + l получим |
' |
|
|
|
|
|
N- 1 |
|
|
|
|
tN М - 5 ]( - !> * ,£ * ( Л . ,2 " -“ - ^ - “ |
|||||
|
1^0 |
|
|
|
|
N - 1 |
N - 1■- J. |
|
|
ІУ -І |
|
2 |
К___~J пѴ |
2/+1 _ V |
2 |
|
|
( - 1) |
|
л<Л'>зА'Т1 |
|||
N-1-1 °ЛГ+1 |
^ л |
— / |
| ЛІ л > |
||
S |
—9---- 1-7 ~ |
|
У = |
0 |
|
у = о |
2 |
|
|
||
