Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 68
Скачиваний: 0
Положим |
|
|
|
Ql{x) = Q;1( x |
) - ^ |
rQnJ{t)dt. |
|
|
0 |
|
|
В силу (3.21) по-прежнему |
|
|
|
Q: |
«p, |
„ |
(3.23) |
однако теперь |
|
|
|
2- |
|
|
|
I Q*a{t)d t = 0. |
(3.24) |
||
0 |
|
|
|
Введем тригонометрические полиномы
тя ( Х ) = ^ - + Fr (Q*„; х).
На основании (3.20), (3.18) и (3.24)
7 {Р( х) = Q*n (X). |
(3.25) |
Учитывая (3.23), (3.22) и (3.25), при п—у оо получаем
тп - > - f - + Fr (с?) = /, і ѵ = Q: Л cp.
Значит, ф является непрерывной дробной производной порядка/- от f. Достаточность доказана.
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть последовательность полиномов {Г,,.} такова, что при п-*-оо
|
Т |
<р. |
(3.26) |
|
В силу (3.20) |
|
|
|
|
. |
Тп (х) = A n + Fr {T(nr); |
х), |
(3.27) |
|
2- |
|
|
|
|
где А п= — J Trl(é)dé. Переходя в (3.27) |
к пределу при п - у оо |
|||
о |
|
|
|
|
и учитывая (3.26), получаем |
|
|
|
|
fi |
2— |
2тс |
|
|
/(*) = |
|
|
||
I /(0 ^ + 4- .[ ?(О^ (X- ОЛ. |
|
|||
|
О |
Ö |
|
|
Остается заметить, что в силу (3.2)
2- |
, |
2* |
( |
ср (х) dx = lim |
Г Тп](л) dx = 0. |
о |
п""“ о |
Теорема доказана.
Сл е д с т в и е . Если при некотором / > 0 для функции ф е С ,
2тс
имеющей нулевое среднее j* ty(t) dt = 0, будет
о
j à{t)Br { x - t ) d t = |
Q, |
о |
|
то ф (х)= 0 . Действительно, в противном |
случае получили бы |
в силу (3.22), что непрерывная дробная производная порядка г от f ( x ) = О определяется не единственным образом. Но это про тиворечит теореме 3.1. Утверждение доказано.
3. Приведем простейшие свойства операции дробного диф ференцирования.
I. Дели fi, и f2 принадлежат СМ, то при любых вещественных
а и р будет afi -bß/г е СМ, причем
Кі + РЛ)<') = «/{'> + РЛ'>.
II.Пусть последовательность функций {/Д из СМ такова, что при s —>- ОО
(г)С
/Л ® , /
Тогда Ф Œ СМ и фМ= ср.
III. Если f е |
№ , то / е С (г-<,) при всех а Е( 0, |
г) и |
|
2- |
|
/ (г |
/М (t) В, (X — і) dt. |
(3.28) |
|
о |
|
Свойства І и II непосредственно следуют из теоремы 3.2. Докажем'III. По определению непрерывной дробной производ ной найдется последовательность тригонометрических полино мов {Тп} такая, что при /г-*-оо
Т п -Я /, |
(3.29) |
г Г - 2 > /(Г). |
(з.зо) |
В силу (3.18), (3.20) и (3.16) |
|
7 f - K> = Д а (7 І> ).
Отсюда и из (3.30) следует, что
Tj[~a) Л д а( / (Г)). |
(3.31) |
Объединяя (3.29) и (3.31), получаем (3.28)'.
22
Утверждение доказано.
4. В заключение покажем, как непрерывная дробная произ водная выражается непосредственно через исходную функцию.
Если г — натуральное число, то функция і р е С будет непре
рывной производной /'-го порядка от / е С в смысле определе ния, введенного в п. 1, тогда и только тогда, когда она является обычной л-й производной, непрерывной на всей вещественной прямой. Это следует из теоремы 2.1.
Теперь рассмотрим случай, когда г — не целое число. Теорема 3.3. Пусть k — Дл я того чтобы у функ
ции f Œ С существовала непрерывная дробная производная по рядка г, равная <р, необходимо и достаточно, чтобы функция F k - r{f-, х) имела обычную непрерывную производную k-го по рядка и выполнялось равенство
|
|
|
= |
г , |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде |
всего заметим, что |
дробный |
||||
интеграл порядка а> 0 |
от любой функции ф е С имеет |
нулевое |
||||
среднее |
значение. |
Действительно, |
в силу леммы 2.1 |
и (3.14) |
||
2т, |
2-, |
|
|
2* |
|
|
J |
JФ(t) Ва(Л- — t) cltdx = |
f ф (0 j Ва (X — i) dxdt = |
||||
О О |
|
|
0 |
0 |
|
|
- - |
|
|
|
|
||
|
|
2- |
2- |
В~{х) dx = 0. |
|
|
|
= |
j |
Ф(О dt j |
(3.32) |
||
Обратимся теперь к доказательству достаточности. На осно вании теоремы 2.1 найдется последовательность тригонометри ческих полиномов {Тп} такая, что при п-^-оо
У F,.АЛ, |
(3.33) |
ТІк)Л, <р. |
(3.34) |
Учитывая III и (3.34), получаем |
|
7 ? “ r) = F ,(7 ? )) - ^ F r (ср). |
|
Далее в силу (3.27) |
|
Тп (х) = Дл + Fк- г (7? ~ г); х), |
(3.35) |
где А п = 1 2гТп (^) dt. Поскольку Fh- r(f\ х) имеет |
нулевое |
о |
|
среднее и выполняется соотношение (3.33), то Лл^—^ 0. Перей дем в (3.35) к пределу при /г-*- оо. Получим
F k - r ( f \ x ) ^ F k _ T( F r ($y, X ) .
Перепишем последнее тождество в эквивалентном виде:
2.TZ
J / Ѵ ) — % - ± - ] ч { г ) В г { і - г ) с І г Bk- r (х — t) dt = 0,
О-
где а0 — j На основании следствия из теоремы 3.2
и (3.32) заключаем, что при всех х
2*
/(■*) = f -+ -i- I с? W B r (X - t) d t -
Кроме того,
2тг |
2тс |
Г <р (х) dx = lim |
Г Т[к)(X ) dx = 0. |
оп~*°° о
Значит, f(x) имеет непрерывную дробную производную по рядка равную ф(х) (теорема 3.2).
Достаточность доказана.
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть |
СГ |
с |
|
|
Т п —»/, |
—>ф. |
|
||
Введем тригонометрические полиномы |
|
|
||
• Т п,и-Г{х) = |
Д й_ г ( Г й; |
х). |
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
Тп, к — г ' |
|
|
|
(3.36) |
Далее, поскольку Т „%( -Г(л) = |
К,(,г) (л), то |
|
|
|
'pik) |
С |
ср. |
|
(3.37) |
* П, k —Т |
|
|||
Из (3.36) и (3.37) на основании |
теоремы 2.1 |
следует, что |
||
Fk~r(f; х) имеет непрерывную k-ю производную, |
равную ф(х). |
|||
Теорема доказана. * |
|
|
|
|
* Дальнейшие сведения о дробном дифференцировании и интегрировании периодических функций, а также библиография по этому вопросу приведены в [23, 24].
Г Л А В А II
ОЦЕНКИ СОВМЕСТНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
§1. Вспомогательные предложения
1.Введем при натуральных N я ѵ функцию
|
|
|
|
|
Nt |
\2 V-|-2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
sm ■ |
|
|
|
|
|
^'Ѵ; Vѵv(W0 =— ф |
l |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ N sin ~ |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nt \ 2 V+2 |
|
|
|
|
|
^Л'ѵ — |
. |
t . |
dt. |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
VN sin — |
|
|
|
||
Из определения следует, что |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
§ U N4(t)dt = 1. |
|
|
(U ) |
||
Лемма 1.1. Функция |
является четным тригонометри |
|||||||
ческим полиномом порядка (ѵ+1) |
(N — 1). |
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку21 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
^ 2 |
|
D'k (t) = —Q—|- cos t - j - c o s kt = |
---------2— |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 s i n ~2~ |
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
*2* ° k w |
= 1г + * 2 |
w |
- |
cos ki = |
|
|||
ft= о |
|
|
k\= 1 |
|
|
|
||
t_ |
, |
, 3t |
, |
2 N - |
|
|
|
|
sm 2 |
+ |
sin — |
+ . . . -I- sin |
|
|
|
2 |
( 1.2) |
|
|
2 sin |
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
