Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
|
(f |
- алгеброй, |
выполняется |
лишь более |
і:л;боо условие |
|||||
/ для конечных |
но не |
счетных объединений / |
|
|
||||||
|
4/ |
Ü Au |
€. O l |
, |
если А |
A |
, |
, |
t |
GL . |
|
|
к = і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1. Определение. Алгебра / |
6~ |
-алгебра / |
|||||||
таьшается^пздоаденной системой множеств |
$ |
|
. если У с Q. |
|||||||
и Ci |
с |
СѴ |
для любой алгебры |
( |
б~ -алгебры ) множеств |
|||||
$ (/ |
, содержащей систему |
У |
|
|
|
|
|
|||
|
б.S. Предложение. Для_кажлоІі |
|
|
мнонеств |
||||||
с5 |
дуде^тв^^атігебра |
/ |
б" ^â?r j^Pa |
/ |
|
I t |
) мно^- |
|||
Ж^СТІІ^. пор^ждднид^и^темой |
-іт? . |
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Из определения алгебры
/6" -алгебры / множеств вытекает, что пересечение произволь
ного семейства алгебр / |
6* - |
алгебр / является алгеброй |
|||||||
/ 6"" -алгеброй /. Семейство алгебр / |
б- -алгебр /, содержа |
||||||||
щих *У |
не пусто, потому что система всех подмножеств мно |
||||||||
жества X |
— |
U S |
|
является |
б- -алгеброй, |
содерха- |
|||
щей систему ^§ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пересечение ( Х С ^ ) |
семейства всех алгебр / |
g--алгебр/, |
|||||||
содержащих систему |
\ß |
и будет алгеброй / |
6~ |
-алгеброй /, |
|||||
существование |
которой требовалось доказать. |
|
|
|
|||||
Возьмем в качестве X |
"основной" |
-мерный проме |
|||||||
жуток Д 0 |
|
, а в качестве *с5 |
, систему всех ог. -мерных |
||||||
промежутков А С А„ |
.В этом случае алгебра, |
порожденная си- |
|||||||
стеыоі ^ |
|
, называется системой^элдм^нта^ных множеств, а ее |
|||||||
элементы - ^^жкт&^яшш^шохеств&м |
/ промежутка Ас |
/; |
|||||||
в* -ажгео>., порожденная данной |
системой (~é> |
, |
называется |
||||||
оіотемоИ бормевских множеств, а ее элементы - б^цкдд^ьищми^мно-
жествами / промежутка До /•
6.3.Предл-ожение. ^№SS^S3^S&eSSS2^°J!S°^S,
АС До ejjjb^j)6j>ejr»MBjie^
-12
Доказательство. Объединения конечных1 |
систем |
||
проиежуткоь |
Дй содержатся в |
алгебре, порожденной |
|
в о е и и промежутками А С Д 0 |
• Кроме того, эти объеди |
||
нения сани образуют алгебру множеотп. |
|
||
6.4. Предложение. ÇHjÇ^ej^^oojejuîBcjaix шшжесдв |
|||
проыеиЗЦіа А0 |
содераот 5^^ïï^î!î5JLJ5S^35H!lïï^îï5JlS5ï50~ |
||
жества^ этого |
промежутка. |
|
|
OögaiHo, |
6Г" -а^^о^^юдшшжеотв, по^юіден^ан^отщы- |
||
тыми / Hnj^3amcuj(TUMii^/ подмножествами промежутка Л р |
>..S25~ |
||
падает с системой борелевских^іодмножеств этого щюмежутка.
Доказательств р. Поскольку открытое множество, вместо с каждой своей точной, содержит некоторый шар с центром в
этой точке, то оно содержит и некоторый промежуток^ координаты вер шин которого рациональны. Рассматриваемое нами открытое множество является объединением описанных выше промежутков, причем не более
чем очетным. Таким образом, открытые множества принадлежат G"-ал
гебре, порожденной промежутками А С Д 0 . То же верно для замкнутых множеств, как дополнений открытых.
Обратное утверждение вытекает из того, что каждый промежу
ток можно получить из замкнутых промежутков применяя конечное чис ло раз операцию объединения и разности. Для' одномерного промежут ка это очевидно, а для т\- -мерного можно получить индукцией по ті , с использованием того, что декартово произведение ааикнутых промежутков замкнуто.
6.5. Зщ»ечани.е_. Систему борелевских множеств иногда опре деляют как о~-алгебру, порожденную открытыми / или замкнутыми/ множествами. Это определение применимо к подмножествам любого то пологического пространства.
Теперь мы можем сформулировать основную задачу настоящего параграфа: Дана_ме^_^вльть*оа ^ц. , ^aдaинaя%нa^£p_oJИж^к«
-13
Д С Д 0 |
. Продолжить |
1 эту меру с сохранением неотри |
цательности аддитивности и |
нормальности на такую б" -алгеб |
|
ру подмножеств основного промежутка, которая содержит все пром
жутки Л С Л о , а, следовательно, также все борелевские мно жества
Мы изложим решение этой задачи, найденное А.Лебегом. 7. Мера Стильтьеса элементарного множества.
Нам понадобится такое простое замечание:
7.1. |
Замечание. Пусть дана произвольная конечная |
|
система \ |
А К ^ А |
элементарных мнокеств Д к С A D • Тогда |
существует такая конечная система попарно непересекающихся про
межутков \_ Д гпу \ |
, |
что |
|
|
|
|
A k |
= |
U |
- |
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим сначала одномер |
||||||
ный случай. Пусть |
|
|
" промежутки, |
|
||
объединениями которых являются элементарнне множества |
|
|||||
/ ом.предложение 6.3 /. Пусть \\ |
•> • • • ч ^"Ѵ-п |
есть по |
||||
следовательность чисел о!, |
° 1 , |
••• I |/1n |
, |
|||
расположенных в порядке |
неубывания. В качестве промежутков Д-т |
|||||
достаточно взять открытые промежутки вида ( f j ' V |
О -, |
О) ; |
||||
ограниченные последовательными вершинами ^ |
и у |
и |
||||
"одноточечные" промежутки C)f'j* - 0 > |
+0) |
• |
|
|
||
В |
-мерном случае мы применяем описанную процед |
|||||
ру к одномерным промежуткам, декартовыми произведениями которых являются промежутки, в виде объединений которых представимы ра сматриваемые элементарные множества, а затем берем всевозможные
1 Пусть |
-функция с областью определения 1) |
и пусть D*2 |
Функция -С* называется продолжением функции -Ç |
/из]) / на_0^ |
|
вслн^* является областью определения функции |
и -Ç*Cx}=Ç(x |
|
пря rt'eï» . |
- 14 |
|
'Yu -^мерные декартовые произведения полученных одномерных про межутков.
7.2 Следствие. Каждое^ле^іедітіЧ^
пр_оимутков.
7.3Опеределение. Пусть уо_ -мера Стилыьеса,
заданная на промежутках |
А С Д 0 |
• Продолжим функцию^Х- на |
||||||
систему |
элементарных множеств А С Л 0 |
полагая * |
|
|||||
|
|
• |
ytJL СА^І - Z Д |
U v t ) |
, |
|
|
|
где сумма распространяется на конечную систему | Д к | |
попар |
|||||||
но непересекающихся промеяутков, объединение которых равно А |
||||||||
/см.предыдущее следствие /. |
|
|
|
|
||||
Однозначность этого определения доказывает следующее рас |
||||||||
суждение: Пусть A = U < = 1 |
и A ^ U j - , |
^ j j |
, где |
|||||
промежутки і ^ |
•>-.., |
попарно не пересекаются и промежут |
||||||
ки ^ •> . - ., |
|
|
попарно не пересекаются. В силу 7.1, |
|||||
существуют такие попарно непересекающиеся промежутки |
, €.дТ>--- |
|||||||
что каждый из промежутков \к |
и ^ |
|
можно предотаиить |
|||||
в виде |
объединения промежутков |
|
. Учитывая аддитив |
|||||
ность меры |
jx. |
, рассматриваемой на промежутках, имеем |
||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
= . Х - |
f*-{.*-™) ~ 2 1 2_ |
jmCe-^W |
.= |
21 L C ( U |
= 2L |
7.4 Замечание. Мера Стилыьеса уи. « продолжен ная в соответствии с определением 7.3 на класс влементарных кяо-
1.Продолженную функцию обозначаем так же как и иоходнув. Ив-за однозначности продолжения это не приведет к недоравумеииям,
-15 -
жеств, сохраняет свойства неотрицательности аддитивности |
и нор |
|||||||||||||
мальности. Ее неотрицательность и аддитивность очевидны. |
Нормал |
|||||||||||||
ности |
мы сейчас доказывать не. станем, |
поскольку |
вскоре |
получи |
||||||||||
более |
общий результат. Однако, |
для дальнейшего |
нам понадобится |
|||||||||||
следующее предложение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7.5. Лемма. Пусть А -^эл£ментардще.ч мдоаествр, |
со- |
||||||||||||
^epja^aecH^B |
Д 0 _и Ь |
тШЩ?ІЧ^5!ІЛШУІ0 |
-> |
|
|
• , Ö M e ~ |
||||||||
cwäjejrji^oe^jäaw^^ |
|
|
|
|
|
.В i _ A |
, |
что |
||||||
^ѵА^- |
^ ( Ь ^ |
< £. |
^ j j y j i i e j ^ B y j ^ j ^ K ^ |
|
|
|
|
в осн |
||||||
промежутке До |
элементарное множество С |
. A c t C i , , tчто |
||||||||||||
дССЬ /ДА) < £ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Докаэатель.ство. Утверждение достаточно дока |
|||||||||||||
зать длн случая, когда А |
есть промежуток. Рассмотрим сна |
|||||||||||||
чала одномерный случай. Пусть например-А = |
- Ö , ^Ь- О) |
|||||||||||||
Положим Ь = 1^-0', (і,+0) |
, где |
сЛ |
|
< |
|
и |
|
|
||||||
C ^ C J ^ O . ^ - O ) |
, где |
^ 0 < |
|
< «С |
|
/ ^ 0 |
- |
|
|
|||||
левый |
конец основного промежутка ДD |
/. Тогда Vs |
- замк |
|||||||||||
нутое, a Ç |
|
-открытое множество и |
Ъ С А С е С Л |
|
||||||||||
Далее, |
ANB = ( ^ + О ^ - О ) |
, С NA = [^-D |
|
|
|
|
|
|||||||
и при |
, 1^ |
^ d, 4* (J, |
промежутки А4 |
В |
|
и С4 |
А |
|
||||||
стягиваются |
к пустому множеству, |
а поэтому их мера стремится |
||||||||||||
нули. Следовательно, |
возможно выбрать такие Ы,л |
|
и |
|
, |
|||||||||
для которых иДАІуі (.&) = ДІА^ВІ |
< £ |
|
|
и |
|
|
|
|
||||||
^ІІО ~^с( A l = |
яСС |
^А") < £ |
Подобно рассуждаем в дру |
|||||||||||
гих возможных одномерных случаях, |
|
а в |
<у\ - мерном случае опис |
|||||||||||
ный прием применяем к одномерным промежуткам, |
декартовым произв |
|||||||||||||
дением которых является рассматриваемый |
тѵ -мерный промежу |
|||||||||||||
ток. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.6Лемма./ Счетная полуаддитивность меры эленентар-
иого множества /. Лсли А , А п |
) • • |
~ элдментариые |
16