Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 57

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

множества и А

С U

А „

, то іл. С Ai

21 М- С

) .

 

.

^

»

 

у

IV . '

 

Л о и и :і а т ѳ л ь с т H о. Предположим сначала, что си-

чуьѵа .ілнментарныу множеств

А л

) А

, рокрывающая А

ивлнотсн кріочіоі . Пусть

 

- такая система попарно нѳ-

ісрссскшіпіихоі nporo.'v/ïiMB, что

каждое из

множеств А ^

, . . .

.. ,

ость объединение некоторой конечной подсистемы системы

I

см.замечание

7.1/. !'.ы

имеом

 

 

4 І Х ^ Х

^ ^

= 2 1 / ^ )

.

-

 

Случай счетного покрытия сведем к случаю конечного покры­

тия, используя

компактность замкнутых множеств,

содержащихся в

Д 0

.С этой целью зададим произвольное £•> 0

и по­

строим такое замкнутое

элементарное множество

А ' С А

для которого

jx. (.А\

-

А')

<

'и такие открытые эле­

ментарные множества

А^

.

, что

СА^

 

С Д, 0

ц.

 

/лЛ А^1 )

~yÜL (A J

<

1 0^ = ^,2.,.,- .

 

Очевидно А ^

U А.-у, * а поэтому существует такое

натураль-

кое N

,

А' С

U j l , А ^ .

 

 

 

/ из счетного открытого покрытия компактного множества мы извле­ каем конечное подпокрытие /, Поскольку для конечных покрытий

лемма уже доказана,

то

 

Отсюда jx

 

, что в сижу

произвольности £

приводит к требуемому реіультату.

8. Внешняя и внутренняя мера. Пусть jx-

- мере Стжль-

тьосв, заданная на элементарных подмножествах основного Проиежт*-

яа Л 0

и пусть А

- произвольное, лодняожество

втого прошв-

жутка,

Следуя R.Jie'lery положит»

,

t и л к э А « '

где точная ниннпн грань распространяется из всевозможные систе

мы

1^и.\

промежутков A « . С А0

 

, іюкрырапівдр шіп-

 

нество А

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции jx

 

 

 

г

 

 

 

 

называется

 

I «е'егп

-

 

Стильтьеса,

порождаемой мерой Jx

/. Нижней мерой

ппзнва-

ется функция уц.»

, определяемая

соотношением,

 

 

•где А с

=

А л А .

 

 

 

 

 

8.1. 3 а м е ч a H и е. Дчя. любого А С Л ,

, \х

(&)4

4

№-* (. А^ -

Действительно, пусть дли некоторого

А

 

уиі; ( А") >

Д *

(А4)

, и есть j a *

С Ас) ц А ^ (X)

> А [А,

В силу определения точной нижней грани найдется такая

систем"

промежутков j Д ^

, покрывавшая А°

и, такая систем!

промежутков

^ А ^ \

\ покривагчцая

А

, ''то

 

 

 

М

О

> 2

мЛА^) + Z.

 

К " )

 

 

5 силу леммы 7,6 / о полуаддитивности мери элементарного ІУО.ЧП-

ства/, последнее

неравенство негозможно, imjoM.Y «то cnc",I,M

^Д^І и ^

I

вместенокрвват А с

-.2 Р р е j

о j в s м / Счвтши

полуплгггивч-»" г; і''

ней меры/. Если

А . А, > А Х > . . . СЛ , д А

С U ^ f - : A,v, ѵ

r

Д о к a s

т е л ь с т з? о. Рятачим произвольное £.

и через ^ Д ' ^

обозначим такую систему промежутков, что

при 'Ѵх ~ А , X ) - ••

существование такой систеыи ^ Д ^ } вытекает непосред­

ственно из определения точной нижней грани и соотношения /8.1/.

Мы имеем А

с U

С U

Ü

 

« а поэтому

 

 

 

-у* К.

 

 

 

 

/

-v. 4

'

 

 

/

 

 

откуда, ввиду произвольности t >

О

, вытекает наше

утверж­

дение .

 

 

 

 

— -

 

 

8.3. Предложение. ^Ш^ОКЯЗОХѴШІ

А ,В> С

Д 0

çJIp^eдливa^^дJ^l!iaд___04Щдa,

 

 

 

 

Док а-з-а_т_е л ь с т в о. Легко видеть, что А С

СВО [А * Ь )

I откуда, в силу полуаддитивности

 

 

 

 

 

1

^ Ч А * В ) ,

внешней меры /см.8.1/,

(А> 4

 

(В.) +

Так как A Ä

Р> ~ Ь

А

, т о

выполняется также неравенство

 

 

 

Из полученных неравенств И вы­

текает наше утверждение.

 

 

 

 

 

9. Измеримые иножеотва и мера Лебега - Стнаьтьвса. Здесь

мы сформулируем определения измеримости и меры, принадлежали*

А.Лебегу. Исходным нам послужит приведенное ниже предложение.

/ В нем

уц.

означает меру Стильтьеса, заданную "«а элемен­

тарных подмножествах основного промежутка Д0

, a

ytfc\ ж

jx^ , соответствующие верхнюю и нижнюю меры /.

 

ч ѵ

9.1

Предложение. Если А С Д 0

Д

- эае-

)^тарное_множесга£,

Х9.

 

 

1 о ка з a i е л i о I i о.. На опрёделеия 7.Э мери элементарного множества и определения /8.1/ внеякеМ меры іымжае*

- 19 -

\

неравенство yu, . ûû'puTiioe неравенство иытснаст

из леимы 7.8 о счетной полуаддитивіости: Уели система промежу

ков \ АцД

покрывает А

, то 2Ly**-^0 М- ( А ) ,

а поэтому уи.

 

 

la lein.', образ

^ j l I

A I = уш'ЧА")

. Применил это равенство к шояьству Д

= Д 0

\ А / А

- тоже элементарное шюкество /, находим,

что уи, (А)^

[х{.Ао)-^*{А*)=

Д с ( А ^ - ^ ( А Е ) .

Но в силу аддитивности «еры элементарного шюьестж!, ,u і^о) =

-улОЛуДА*) , а поэтому уіі^ ( . A ) =

X u ( u J -

~~ / ^ ( - ^

~ \ ~ ^ ( А ^ ) l ( T Q [,Tpeбопилось доказать.

9.2

Определение. Пусть J^. - нерв Стильтьеса,

ааданная на элементарных множествах с Д 0

i a уЦ.* ч,Ц< "

соответствующие верхнпн и нижняя мери. Мно.честьс А С Д 0 'нызин

ется

^д. -^H3jM^HMm.i, то есть КЗкеривди относительно нерп

Ік , если ^д.*(М = ^ х , CA")

. Сукение 1 уіигпки yU* на

класс

- измеримых множеств, равное сужению наэтоткласс

-функции

и л , называется мерой -;іесіета-Стіш/гьеса, порожлок-

ной «ѳрой Стильтьеса р.

. Эту меру Лебега - стильтьеса ми

значим буквой jx. , также, как'и исходную меру. Таким образом,

каждого U - измгдпнюго нноаества, по онределенш:,

-

Непосредственно :із P,l к S.;: чшокаот:

Р«3 С I s л с I в в е, Каждое эденситирно-: ішоѵгство ич

ется ь - пямерпюм и его меро ілбсѵ* - Гтикѵгьгеп рявна кл

^'лльтьеса .

9.4 Замечание. Дг.н того, чтобі/ ипо^-.-стке А С Л 0

биде

- каѵйсюкіЛа, -леобходтю. и достаточно чтибн

Пусть

\ - функция, с областью определения •£> •, а Е- про

вольная подмножество множества D . наиомшш.что функция а.

вается £2ИЁЩіем функции

\

на Е ', если областью определен

Функции

является Е

и C^W.I = Ç U O

кля гес-х « t .

Значение уХК\ мера /А. на множестве

А »к называем коротко

н»рі?1і Sïoro кножестза.

 

 

 

-У.О

Смотрите также файлы