Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

относительно меры ju.

на множестве

Д)

, содеркит не

торую подпоследовательность,

сходящуюся

^ - почти всюду

на

ID

/ см,соотношение

/14.1'/ /.

І4..4

Замечание, Если последовательность

)Ç\>\

Ci» е L - ^ l b ) , ^ ^ , 1 , . - . сходится в

(.]>]

функции

\

и к функции

I-

, то функции \

и j

экви­

валентны на

. Действительно,

откуда SJJH -Ç-ld^

~ 0

и наше утверждение вытекает из

следствия S.4.

1 4 . 5

Замечание, в теории интеграла Римана те

рема, аналогичная теореме Фишера - гисса, неверна :

Предел

в среднем последовательности функции, интегрируемых

в смыс

функциями интегрируемыми по Риману

и вынуждены рассматрива

также функции интегрируемые в смысле Лебега.

§ 4, Теорема Фубини

'

1. Произведение мер. Пусть

ул.,

и

- меры

га dl Ri 14

I

,

/

и ігѵ^- m

-r»^ /у\ ^

- некоторые натуральные

числа/;

1.1

il р e д л о и е и и е 1

. ii^JSMflor^jiBOjjesy^tM

д

с î R o

^ m f

X

.подам

jLLlûl = ^ U

V

^ U

J

,

/Ulf

,где Д(С 1)1,

1 Л г C l R L

, - Micjje^ouejcyjPKM, что

Д =;

Дрмю^тка Д С !Й,о •

Доказательство вытекает непосредственно из определения

меры Отильтьсса проыекутки,

которое дано в п.й, § 1. проверим

например,

что функции ^А.

, заданная форнулои /І.І/, являет­

ся нормальной. С зтоіцелью, пуоть & é.IÎ)<,

•-• »* такай

последовательность промежутков, что Д "Э Д Э--.ЭД з>... и

Д - т$3 .

пусть

А* -

X

^

где

A j ' g

£ l j . І ^ А '

Тогда либо ПД, Д

<

, Либо

П . Л . Д т , — и , так как меры д ,

и

обладают Свой­

ством нормальности,

либо д.ОО.~"* ^

. ливо и, (дѴ^і

0 0 .

1

По определению,

пространство R 0 1

есть множество всех После-

доватольностел

(х,

,ХѴ)

ив т\

действительных

чисел. Пусть к. -'некоторое натуральное число <'К

І МЫ

будем отождествлять последовательность (,х4

, ....ХыЛ

с па-

рой {.и,

двух последовательностей и. = ( Х< ., ... ,

£

[ j ^

»

V = ( K , . + i r . . , ) i J ê f i } r "

. Это по­

зволяет нам отождествлять пространство

с прямым произведем

ниеы Ш *

. В частности,

мы можем отождвствяять Про­

странство

Re

, о котором речь Идет в предложении і»1,о про—

странством К

Отметим,

что применяй индукций, мы -

ыонем притти к тождеству

.

4

= ßfc ' X —

X Ift 1