Файл: Котелевский В.Ю. Автоколебания в системах трения металлорежущих станков.pdf

-

19 -

и при

надлежащем ѳгр выборе

правомерно положить Уа

-Û

.

Все силые входящие в уравнения (16),

направленные

по

норма­

ли к

оси Хг и содержащие смещение jzf)

обращаются

в

ноль

неза­

колебания точки

M вдоль оси

Х>

:

/тмс

г

*• c

s

J :

2

+р

г

•Оz

jz

Иэвестно,

что

уравнение

M

(18) может описывать самовов-

буждающиѳся колебания,

если

коэффициент

СГ

^

О и харак­

1

)

теризует падающую

зависимость

•в Y

тангенциальной

оилы трения

Т от скорости

скольжения У

(19)

Рис.

11.

Траектория точки

приведения

при йБтоколебаниях

р,аѵ-&<

+сѴ

-О

-cj

*ргхог-раѵ

-û ,

( 2 0 )

где

а ѵ

-

контактная

деформация

при

кратких

оотановках;

Яог

-

деформация вдоль оси

Х2

•

В уравнениях

(20)

содержатся две нѳиввѳстныѳ:

0-у

и

.

Нас интересует выражение для тангенциальной силы

трения

Т к ѳѳ

связь

со

скоростью

У

:

Т=Р2Х-02.

Ив

(20)

находим

-fr

I

'

С21)

тогда

c*~cTï

Pf

(22)

20 -

где

°*

pi °>

/ с м . ( і ) / .

m

,

я

T

aу тая

V

Ai*

//////

l*uc, 12,

К оироцожчішо кти'тичсскоП хпр/жтсриптики

силы трении

Нетрудно видеть,

что

условие

с£^ О

приводит

выражение

(18) к виду,

адекватному

(1)

в линейном

рассмотрении, если

ограничиться

анализом

устойчивости. Таким образом,

устанавли­

самовозбуждения

при

трении

скольжения.

Приведение двумерной динамической модели к

одномерной

с о ­

гласуется с картиной

внешнего трения при .учете

сил,

действую­

щих на

подвижное

тело по нормали к поверхности

трения.

Это

легко

проследить

на

примере

полужидкостного

трения [24] . В о с ­

нову данного представления

кладутся

два положения.

1. Сопротивление сдвигу - сила трения является суммой сил

взаимодействия контактирующих выступов трущихся

поверхностей

и сил

вязкого сопротивления промежуточной жидкой среды.

2.

Процесс трѳния является процессом беспрерывного

возникно­

вения

и исчезновения

как элементов

контакта

поверхностей,

так

и микрополостей,

заполненных промежуточной

средой.

Механизм контактно-жидкостного взаимодействия может быть

описан

следующим

образом. При движении в микрополостях

возни­

кает гидродинамическая подъемная сила, вызывающая всплывание

скользящего тела

и уменьшение контактной деформации.

Внешняя

- 21 -

нормальная нагрузка воспринимается,

с одной стороны, деформи­

руемыми

выступами контактирующих

повѳрхюстѳй и,

с другой

сто ­

роны, гидродинамическим клином в микрополостях.

По мере всплывания тела,

то

есть

уменьшения

контактной

д е ­

формации, часть нормальной, нагруѳки, приходящаяся на клин,

воз ­

растает,

а часть, приходящася

на

контакт поверхностей, соответ­

Таким образом, с ростом

скорости в состав силы трения вхо­

дит все большая доля сил вязкого сопротивления,

а

доля

сил

контактного трения - падает. Эти обстоятельстьи

и

вызывают, п а ­

дение суммарной силы трения

с ростом скорости,

как

ето

прэд-

ставлено на р и с . 2 .

Г л а в а

П

УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

§1.Определение

показателя

устойчивости движения

при

автоколебаниях

Проблема нахождения границ устойчивого движения ползуна по

направляющим

при

использовании

одномерной

модели

(1)

зависит

от величины

Сг

(22)

и

определяется

из кинетической характерис­

тики

(рис . 2),

получаемой опытным путем. Применение

вышеописан­

ного

преооразования

уравнений (16)

к

виду (20) формально дает

путь

расчетного

определения

величины

о2

, если

известны

все

параметры системы ( l b ) ,

а следовательно,

и

границ

устойчивого

движения полвунаОднако, как показывает анализ, этот

путь

я в ­

ляется сугуоо приближенным.

Ив выражения

(22)

следует,

что

в

условия устойчивости

не

входят параметры

рг

и

Gf

и причиной

этого

является

условие

равномерного

движения

ползуна,

принятое

при

получении

(20).Сле­

устойчивости

применительно

к дифференциальным

уравнениям (16) .

Используя

решения (17),

выразим переменную

х г через

^ ^ • 2 у , а «2/ через -хг

-

23

-

Подставляя

(23)

и

(24)

в

(16),

преобразуем

двумерную

систему

(16)

в две

одномерные

колебательные системы, каждая ив которых

описывается одним дифферѳнциальным уравнением о переменными коэф­

фициентами:

тъ+ [ ^ ^ ^ ^ ^ ] ^ ^ - 5 ^ ^ ^ ^ '

(25)

KcOô(Càt+?) J " г

"

(ab)

Уравнения (25)

и (26)

формально являются' независимыми.

Внешними по

отношению

к

ним являются частота

СО

автоколебаний,

угол

сдвига

фазы

У

и

отношение

амплитуд

К

.

С другой

сторо­

ны, эти величины являются общими

для

(16)

и связывают

между с о ­

бой

уравнения

(25)

и

(26).

С учетом

сказанного, можно

исследо­

вать

уравнения

(25)

и

(26)

отдельно,

если

предположить, что в е ­

личины СО

,

У

и

X

нам известны. В таком случае,

ив

(17)

следует,

.что

величина

U

должна

определяться

одновначно

как

из (25),

так

и иѳ

(35).'

Обратимся

к

уравнению

(26)=

Если в

пер ­

вом приближении пренебречь величиной рассеивания энергии,

поло­

жив

СГ^О

,

то

уравнение

(26)

приводится к

виду

уравнения

Матьѳ:

тх2

+ р г

+ àÂf(t)^

Хг'0}

(27)

. I

-

Р

.

/м-

где

л

і

4

cot(<ùt*<f)

'

К

Преобразуем

знаменатель

функции

f(t)

'

ecoôtot-

dïLnûùt у

2 \2солг{~г^

~/] ,

ш

где

е = СОоУ ;

с/~

;

J)*-* вг+

dc

Тогда можно отметить,

что

J-(t)

будет характеризовать

изменение

Л h от

Û

до некоторого

Ak cjc » имеющего конечное

значение

(при

V ,

близком

л

&/2',f(t)max~!±^)

• При этом, в слѵчае

а1^рг*Д

>

/

[6]

:

.

ж = f

ЯЗІс„

ëto

_

2*13* л

і

а i

L

r

ёЯг\(29)