Файл: Котелевский В.Ю. Автоколебания в системах трения металлорежущих станков.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 52
Скачиваний: 0
уравнение |
(27) даѳт |
неустойчиво а движение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
= |
А |
|
- > / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ЭЭ) |
|
чему |
отвечает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(31) |
где |
х'г |
- |
смещение через |
один период |
|
колебаний |
£ 0 % |
|
|
||||||||||||
|
|
•ХОГ |
- |
начальное |
смещение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Обращаясь к известной диаграмме Стретта, |
можно |
отметить, |
||||||||||||||||||
что |
поскольку |
частоты |
CÛQZ |
m СО связаны, |
так как должны опре |
||||||||||||||||
деляться через |
одни и те же параметры, |
то фактором, |
влияющим на |
||||||||||||||||||
устойчивость |
в данном |
случае, |
является |
отношение |
Лк/р2 , кото |
||||||||||||||||
рое |
изменяясь |
перемещает |
изображающую |
точку |
на диаграмме парал |
||||||||||||||||
лельно |
оси ординат. При |
этом |
можно |
заметить, |
что зона |
неустой |
|||||||||||||||
чивого |
движения может быть |
ограничена |
лишь с одной |
стороны, |
а с |
||||||||||||||||
другой пересекает несколько небольших участков |
устойчивого |
дви |
|||||||||||||||||||
жения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим решение уравнения (26) другим способом |
[17] . |
|
||||||||||||||||||
Выражение |
(30) получено |
для частного вида функции |
J |
(t) |
- прямо |
||||||||||||||||
угольной |
пульсации |
(рис . 13) . В течение |
первой |
половины |
периода |
||||||||||||||||
принимается |
+ Alk™ |
COnut, |
а в течение |
|
второй |
половины |
периода |
||||||||||||||
— Arc = COn.it |
. При атом полагается, |
что общее |
поведение си |
||||||||||||||||||
стемы будет |
одинаковым со случаем |
изменения |
|
(t) |
по |
гармони |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ческому |
закону. |
|
|
|
|
|
||||
р:1\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иными |
словами, |
половину пе |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
риода |
решение (27) содержит |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частоту |
у f |
, |
а вторую |
полови |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рг |
ну - |
частоту |
фг . Можно ут |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вердить, |
что среди |
меняющихся |
|||||||||
|
|
1 |
1 |
|
' |
|
1 |
1 |
|
|
значений |
жесткости |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в течение |
периода |
имеется |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такое |
фиксированное |
р г к |
, |
|||||||
|
13. Представление переменной жесткости доТОрОв уДОВЛеТВОрИЛО бы ВЫ— |
||||||||||||||||||||
в упругой система |
параметрических колебаний |
Г |
|
** |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|||||||||
ражепию
- 25 -
|
СО = |
CO = |
|
|
|
5 |
|
(32) |
||
|
|
|
л/ |
/7? |
|
/га- |
|
|
||
Выбрав |
начато |
в |
момент |
рг |
= |
f |
мы получим через |
период t0 |
||
то же значение |
жесткости, |
а значит |
то же |
значение мгновенной |
||||||
частоты |
. Принимая во |
внимание, |
что Си |
|
не меняется |
в период |
||||
установления колебаний, запишем выражение преобразованного урав нения (26) (рис . 14;:
/77 ссг + Сг ссг + р>. Û, (33)
которому должно удовлетворять следующее выражение для корней характеристического уравнения
•и, ± Ісо = - |
2т |
± |
(31) |
2 |
|
4 m |
|
|
|
|
Рис. 14. Представление переменной |
жесткости |
||
в двумерной |
модели |
автоколебаний |
|
Как известно, вещественные |
часта |
корней (34) определяют пока- . |
|
зательнуго функцию в решениях (17), то |
есть приращение амплитуд. |
||
Запишем это приращение за время |
одного |
периода t a : |
|
l/z=A(üzt0)= - |
|
(35) |
|
Иногда в литературе этот метод называется методом "заморо женных коэффициентов".
|
|
|
|
|
- |
26 |
- |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
Нас интересует вопрос о влиянии изменяющейся жесткости |
рг |
||||||||||||
ни изменение амплитуд. Составим |
выражение для дифференциала |
Иг |
||||||||||||
в функции |
приращения |
аргумента |
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
</иг |
|
2 тсо |
- |
, |
|
|
|
|
(36) |
|||
где |
в ^знаменателе |
£с> |
обозначает мгновенную |
частоту, |
вависящуго |
|||||||||
от |
рг , а в аргумен |
входит СО - COnôt |
. |
Интегрируя |
выраж |
|||||||||
ние |
(36) |
в пределах от~У |
до |
29î-(f , |
|
соответствующих о |
||||||||
периоду изменения |
аргумента, |
получим |
значение |
|
1/г : |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(37) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Поолѳ приведения |
(37) |
к |
виду, удобному для |
интегрирования, |
|
|||||||||
|
|
|
-V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опрѳдѳляеи выражение для |
|
&z |
(при |
|
взятии |
ингеграла |
принято |
|||||||
допущение) " У + |
Ж* = |
ввиду |
£г *-*~ |
что |
следует из |
при |
||||||||
веденных |
кккѳ обозначений) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогичные рассуждения и выкладки приводят к выражению для I// и£ первого уравнения системы (16).
Гт |
(Soin сС, - a Cû6d\) |
|
и< " |
|
( 4 0 ) |
В (39) и (40) приняты следующие обозначения:
- 27 -
ez- |
ci |
Аг |
Величины |
Ut |
и |
Uz |
должны давать идентичные |
значения |
и |
, |
||
как следует |
из (39) |
и |
(40), |
могут иметь отрицательные, положи |
|||||
тельные и нулевые |
значения. |
В первом случав возмущенное |
дви |
|
|||||
жение имеет |
вид затухающих, |
во втором - нарастающих и в |
третьем |
||||||
случае - установившихся автоколебаний. Величина |
U |
характери |
|||||||
зует убывание или |
приращение |
энергии колебаний |
за |
цикл и |
тем |
с а |
|||
мым отражает степень устойчивости или неустойчивости системы при
малом отклонении |
около начала |
координат. Исключая t=0, |
можно |
|
утверждать, что |
U4 или |
[fz |
соответственно характеризуют три |
|
возможных аначения искомой действительной части корня уравнения
(33), |
входящей |
в решения (17). |
|
|
|
|
|
|||
Выражения |
(39) |
и |
(40) |
будут |
справедливы для определения |
по |
||||
казателя устойчивости |
движения |
- |
коэффициента |
и |
в решениях |
|||||
(17) |
в том случае, |
если нам известны три основные |
связующие |
вели |
||||||
чины системы (16): СО , У |
и |
К . |
|
|
|
|||||
Перейдем к |
определению |
этих |
динамических |
показателей. |
|
|||||
5 2« Определение основных динамических показателей двумерно!1, модели
Представим решения (17) в комплексной форме
je, |
e |
(-Ltùcj)t |
г |
„ |
, |
(-и+ш)і*іУ |
|
лг = J; |
Xe |
(41) |
и, подстазив эти решения в ( lö), выразим в каждом уравнении в явном виде произведения
Имея в виду, |
что для модуля и фазы комплексного числа |
справедли |
|||
вы выражения: |
|
|
|
|
|
получаем для первого |
уравнения |
системы (16): |
|
||
|
|
|
Pt со |
|
(43) |
|
/ ) ( n |
|
|
|
|
tgf, |
fnu+C,+ |
—j |
; |
|
|
|
p |
(44) |
|||
для второго |
уравнения |
|
системы |
(16J : |
|
Кг- ~\
tgCf-.
2
|
р |
|
|
\Pz * с г и '•m(a~u/)Y+Cüi(2 |
mu + Dz) 2 ' |
(45) |
|
2ти |
+ Сг |
|
|
pz+D2U |
+ т(иг-Одг) |
|
(46) |
Рассмотрим условия, при которых коэффициент и обращается в нолъ.-Эти условия отвечают либо начальному положению покоя систе мы, либо положению установившихся автоколебаний с динамическими
