Файл: Котелевский В.Ю. Автоколебания в системах трения металлорежущих станков.pdf

-

29

-

показателями

ü)n , Кп и

У,г

. При установившихся автоколе­

СЯг~

Cs (t-jUfX?)x2J

(47)

где j-t-j -

коэффициент

нелинейности.

Обоснование

выражения (47) будет дано в главе

Ш. .

шиеся

автоколебания в

системе:

тссг

+ c2cc2 + p2

cc2 + païf =nU

(48)

Теперь

имеются основания определять условия, при которых в

р е ­

шениях

(41) U =û

.

Перепишем

для данного положения выражения

(43*46):

pf

- тсо

_

С2 СО

(53)

С, СО

Рг

-

лгсо'

откуда

Pz

СО'

Л

A

U

'

Л

ni

(54)

где

С, Сг

(/>' */>*)

г т.

m

Как

следует

из

(54),

для

системы

(48)

существуют

два

в о з ­

можных устойчивых предельных

цикла

с

СО/п

-

низкой

и С02П -

высокой

частотами,

значительно

отличающихся

друг

от

друга.

В соответствии

с этим

могут быть

найдены из

(50)

или

(52)

два

вначения углов

сдвига фазы

^

и

У2/г .

Поскольку

два

урав­

нения (42)

нами

уже использованы

для

нахождения двух

неизвест­

ных

СОп

и

Уа ,для

определения

отношения

амплитуд X

восполь-

ьуемся выражениями мгновенных частот из первого и второго

урав­

нений (16)., которые мы вправе

приравнять в

момент

t = / ? / 0 ,

где

fl

-

целое число

циклов,

СО,

Р

Сг

(55)

m

/{/neos У

4

СО*

КСг СО 6ІП

У

/

/71

4тг

(56)

Из уравнения

СО/ ~СОг

может быть

найдена

приближенная величи­

на

К

в

переходном процессе

как

действительное

значение

корня

кубического

уравнения:

К3И +К25

+

KB +D

-О,

(57)

где

el собг

Уа

;

*

—-

- 'С

'

В = COÔ Уа (трг -mpf

-с*J

;

D = лу?.

Отношение амплитуд

К

,

найденное

иэ

(57),

не будет

точным,

пос­

кольку мы используем линейное приближение,

полагая

С ~Cû(i.ôL=Ca

для

начальных

циклов,

а также значения Ыѣ

и

^

|

в

период

уста­

новления подобная операция даст тем меньшую ошибку, чем меньше

коэффициент

нелинейности

ju^

и чем медленнее

осуществляется, пе ­

реходный процесс. Независимо от того, сказывается ли коэффициент

U>0

или

и>0

, для систем с

малой нелинейностью

- почти

гармонических

- частота,

а слѳдовательна

и фаза,

практически

не

зависят от амплитуд [44] и, таким образом, остаются почти постоян­

ными в период установления автоколебаний. Для подобных

условий

найдеішые динамические

показатели

й)"СОп

,

Ух¥гі

и

К

п о з ­

воляют

определить показатель

устойчивости

и

ив выражений

(39)

и (40), s также построить решение системы (48) на участке линей­

ного нарастания гармонических автоколебаний. Эти величины могут

быть использованы и для построения решения в установитиекся

дви­

жении.

Иэ предыдущего

следует,

что с

ростом

амплитуды

автоколебаний

на участке установления вступает в действие ограничитель (44) и

посредством

снижения коэффициента

С

и

увеличения

К

в силу

(39,40)

приводит к снижению

показателя

U

,

стремящегося к нулю

при

С^*~Сп .

Итак, получены

основные

зависимости,

позволяющие

расчетным

путем определять степень устойчивости автоколебаний системы около

начального

положения равновесия с учетом шести удельных сил

>Pf , Рг >ctP

и

массы

/71-

,

характеризующих

движение

ползуна по направляющей. В данном случае имеет место дифферен­

циация сил, учитываемых в одномерной модели. Это позволяет

всту­

пить на путь расчета исходных удельных сил, входящих в уравнения

(48), а следовательно,

определять

границы

устойчивого

движения.

Представим

условия

устойчивого

движения,

проаначивировав,напри­

мер,

выражение

для

(У/

(40).

Значения U^O

возможны

в двух случаях:

1)

угол

вследствие

большой

величины

<2 (а

> 0)

;

2)

угол oCf ^ О вследствие

О' ^ О .

г

е г

/

а

= # І- t/mpi .

(58)

Сместив начало отсчета по оси

О

на

величину Cf,

будем

иметь уравнение равнобочной гиперболы в координатах Q, â , ко­

торая

предстаішена

на рис.15:

/2

о,г

(59)

где

Все

точки,

координаты

О

,

Ô

расположены

правее линии

гиперболы,

отражают

неустойчивое

движение,

а

расположен­

ные левее ее характери­

зуют

устойчивое

движение.

Определить

местоположе­

ние

отображающей

M

можно

следующим

образом.

Из центра

О

проводим

окружность

радиуса

Р

= С/С.

-.Далее

откла­

дываем угол

поскольку

)

и

находим координаты

точки

Jtf' (a,Ô)

.

Теперь,

о т ­

Рис.

15.

К определению

уотойчнпости

движения

ложив

от

начала

О'

зна­

при смешанном

трении

чения координат г?= (X и

-

-

M

, по которому

â'-â

полѵчаем поло-

точки

судим

об

устойчивости (см.при­

жение

мер

для

А/г

) . Во втором

случае, при

СК

> С/

и

достаточном

V

возможно

Of < О

,ч-о видно из рис.15 на примере

окруж­

ности

3

. При этом,

откладывая

координаты

а,

/f

от

центра